向量基础与计算策略

来源：《怎样三线》PDF 第 41—42 页，§3.1—3.3。

用线性组合消点

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}.$$

若 $P=(1-t)A+tB$，则 $P$ 在直线 $AB$ 上；$0<t<1$ 时在内部，且 $AP:PB=t:(1-t)$。

将后来构造的点逐个写成已有点的线性组合，可以在同一个表达式里消去中间点。中点对应 $t=1/2$，重心对应三个顶点系数均为 $1/3$。

点积与叉积

$$\mathbf u\cdot\mathbf v=|\mathbf u|\,|\mathbf v|\cos\theta, \qquad |\mathbf u\times\mathbf v|=|\mathbf u|\,|\mathbf v|\,|\sin\theta|.$$

平面向量的有向叉积可直接使用二维行列式：

$$(u_x,u_y)\times(v_x,v_y)=u_xv_y-u_yv_x.$$

它等于有向平行四边形面积，三角形面积是其绝对值的一半。点积、叉积都可按加法和数乘展开。

常见几何关系

几何条件	向量表达
平行	$\mathbf u\times\mathbf v=0$
垂直	$\mathbf u\cdot\mathbf v=0$
距离平方	$AB^2=(\mathbf B-\mathbf A)\cdot(\mathbf B-\mathbf A)$
夹角	$\cos\theta=(\mathbf u\cdot\mathbf v)/(
点 $P$ 到直线 $A+t\mathbf v$ 的距离	$d=

直线方向向量必须非零。垂足 $H$ 可写为

$$H=A+\frac{\overrightarrow{AP}\cdot\mathbf v}{\mathbf v\cdot\mathbf v}\mathbf v.$$

圆幂

若 $AB$ 是圆 $\omega$ 的直径，则对任意点 $P$，

$$\operatorname{Pow}_{\omega}(P)=\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}.$$

取圆心为原点，$\mathbf B=-\mathbf A$，直接展开即得 $OP^2-R^2$。因此，不容易通过图形发现的垂直关系，也可以尝试转成点积为零或圆幂为零。

差平方的线性结构

对固定点 $A,B$，

$$PA^2-PB^2=2\mathbf P\cdot(\mathbf B-\mathbf A)+|\mathbf A|^2-|\mathbf B|^2.$$

右边对动点 $P$ 是线性的，所以定差平方条件对应一条直线。遇到垂心、悬浮垂直或根轴关系时，这个表达式常能减少辅助线。

使用顺序

先把定比分点、重心或垂心关系变成线性表达式；再根据结论选择点积或叉积。只需面积比时保留叉积，不急于求坐标；若条件主要围绕一个三角形的顶点，可把线性系数转成重心坐标。

原讲义“简洁是宗教及其他”部分尚未完成，本页不补写未提供的技巧。