更换基准三角形与计算策略

来源：《怎样三线》PDF 第 11—14 页，§0.4、§1。

分阶段更换基准三角形

一个点可能相对于三角形 $DEF$ 很好表示，却相对于 $ABC$ 很难直接表示。先在容易的坐标系内求出它，再回到向量线性组合。

设 $D,E,F$ 在 $ABC$ 下的坐标列向量已经归一化，组成矩阵

$$M=\begin{pmatrix} x_D&x_E&x_F\\y_D&y_E&y_F\\z_D&z_E&z_F \end{pmatrix}.$$

若 $P$ 在 $DEF$ 下为 $(\alpha:\beta:\gamma)$，则

$$P_{ABC}\sim M\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix}.$$

这是原讲义“分阶段移轴”的实质：基准三角形发生变化，但点的向量没有变。

逆变换

当 $D,E,F$ 不共线时，$\det M\ne0$，可以求逆：

$$P_{DEF}\sim M^{-1}P_{ABC}.$$

只需要齐次结果时可用伴随矩阵，避免额外公分母：

$$P_{DEF}\sim\operatorname{adj}(M)P_{ABC}.$$

矩阵的列必须是归一化后的顶点坐标。将三个和不同的齐次三元组直接放入矩阵，会悄悄改变新系中各顶点的权重。

与其他坐标语言互换

对归一化系数 $(x,y,z)$，若已知顶点的直角坐标或复坐标，同样使用

$$\mathbf P=x\mathbf A+y\mathbf B+z\mathbf C,\qquad p=xa+yb+zc.$$

后一式中的 $a,b,c$ 表示顶点的复坐标，与本模块通常使用的边长符号不同，实际计算应另取符号以免混淆。

康威换元

为减少三角函数，令 $\Delta=[ABC]$，

$$S_A=2\Delta\cot A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}=bc\cos A,$$

并循环定义 $S_B,S_C$。于是

$$S_A+S_B+S_C=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}.$$

它把许多余弦、余切表达式变成边长平方的多项式。原讲义还给出带有向角的康威点坐标式；由于依赖配图中的方向约定，这里不将其作为无条件公式套用。

先做几何预处理

任意角、隐藏相似等信息往往先用几何转成边比或共圆关系，再交给重心坐标。看到多个圆或二次曲线时，考虑消去共同二次项；看到结论在另一个三角形中更自然时，考虑更换基准三角形。

讲义 §1.1 的进一步技巧仍标为“热编中”；此处只收录已有明确内容。