重心坐标配套例题

来源：《怎样三线》PDF 第 3—40 页。保留原编号，本页先收录文字可确认的题目；手写解答不作识别。

P1：陪位重心在角平分线足点三角形内

来源：PDF 第 3 页。

三角形 $ABC$ 的内角平分线与对边交于 $D,E,F$。证明：陪位重心 $K$ 在三角形 $DEF$ 内部。

解答（将原文的凸组合补写为归一化形式）：记 $T=a^2+b^2+c^2$，则

$$D=\frac{(0,b,c)}{b+c},\quad E=\frac{(a,0,c)}{a+c},\quad F=\frac{(a,b,0)}{a+b},\quad K=\frac{(a^2,b^2,c^2)}T.$$

令

$$\lambda_D=\frac{(b+c)(b+c-a)}{2T},\quad \lambda_E=\frac{(c+a)(c+a-b)}{2T},\quad \lambda_F=\frac{(a+b)(a+b-c)}{2T}.$$

由三角形不等式，三系数均为正，且和为 $1$。逐坐标相加可得

$$K=\lambda_DD+\lambda_EE+\lambda_FF.$$

因此 $K$ 是 $D,E,F$ 的严格凸组合，在三角形 $DEF$ 内部。

P2：动圆与根心

来源：PDF 第 5—6 页。

给定三角形 $ABC$，外接圆为 $\omega$。$P$ 为三角形内部的动点，延长 $BP$ 交 $AC$ 于 $Y$，延长 $CP$ 交 $AB$ 于 $X$。三角形 $AXY$ 的外接圆与 $\omega$ 的另一交点为 $Q$，延长 $AP$ 交 $\omega$ 于 $K$。原题要求证明：当 $P$ 变动时，三角形 $QPK$ 的外接圆“有相同的根心”。

题意待核对：“相同的根心”需明确所比较的圆组或圆系；这里保留原文，不把它改写为未经确认的共点结论。解答待添加。

P3：2024 CTST P8

来源：PDF 第 7—8 页。

锐角三角形 $ABC$ 的外接圆为 $\Omega$，外心为 $O$。圆在 $B,C$ 处的切线交于 $M$，在 $A,B$ 处的切线交于 $N$。$AM$ 交 $BC$ 于 $D$，$CN$ 交 $AB$ 于 $F$。延长 $DF$ 交 $\Omega$ 于 $P$，过 $P$ 作 $BO$ 的平行线，分别交线段 $AB,AC$ 于 $Q,R$。若 $PQ^2=PR\cdot QR$，求 $\angle ACB$。

同题还见三角法 PDF 第 13 页。原排印解答尚待逐式校对，解答待添加。

P4

2023 IMO P6

来源：PDF 第 9—10 页。

设 $ABC$ 为正三角形，内部点 $A_1,B_1,C_1$ 满足

$$BA_1=A_1C,\quad CB_1=B_1A,\quad AC_1=C_1B,$$ $$\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ.$$

令 $A_2=BC_1\cap CB_1$、$B_2=CA_1\cap AC_1$、$C_2=AB_1\cap BA_1$。证明：若三角形 $A_1B_1C_1$ 三边两两不等，则三角形 $AA_1A_2,BB_1B_2,CC_1C_2$ 的外接圆经过两个公共点。

解答待添加。 原解答为手写。教材另有提醒：只证明三圆共轴不够，还要排除相切及相离，确认存在两个实公共点。

P21：换三角形后的等角共轭

来源：PDF 第 35—36 页。

三角形 $ABC$ 的外心、内心分别为 $O,I$，内角平分线 $AD,BE,CF$ 与对边交于 $D,E,F$。$I'$ 是 $I$ 关于三角形 $DEF$ 的等角共轭点。证明：$I,I',O$ 三点共线。

解答待添加。 原解答为手写。方法入口是先把 $I$ 转到 $DEF$ 的重心坐标，再进行等角共轭，最后转回 $ABC$；相关公式见更换基准三角形。

P22：内角平分线足点三角形的垂心

来源：PDF 第 37—38 页，沿用 P21 的 $D,E,F,I$ 定义。

设 $H$ 是三角形 $DEF$ 的垂心。证明：$IH$ 与三角形 $ABC$ 的欧拉线平行（欧拉线及 $IH$ 有定义的非退化情形）。

解答待添加。 原解答为手写。

P23：外心的直线轨迹

来源：PDF 第 39—40 页。

三角形 $ABC$ 内接于圆 $O$，垂心为 $H$。过 $H$ 的动直线交圆于 $D,E$，$AD,AE$ 分别交 $BC$ 于 $M,N$。设三角形 $AMN$ 的外心为 $P$。证明：在构型非退化时，$P$ 的轨迹为一条直线。

解答待添加。 原解答为手写。

其余原题

PDF 第 15—34 页还收有 Tom、Tish 的例题 P5—P20（其中包括 P12A、P12B）。多数题干嵌在旋转图片中，解答为手写；本页尚未转录这些题目，保留原编号范围以便后续补充。