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三角转换：把图形变成等式

来源：《怎样三角.md》§6.0.2。目标是选出一组基本量，使其余量都能由它们表达。

比例语言与基本量​

许多几何结论对整体缩放不敏感，用比例比直接计算长度更自然。先判断自由度，再选择边、角或单位圆上的点作基本量；不要把由条件确定的量又当成独立变量。

正弦定理​

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R.\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R.

当目标边的对角容易计算，并且另有一组已知边与对角时，优先用正弦定理。圆内一条弦的长度可写成 2Rsin⁡θ2R\sin\theta，其中 θ\theta 是它所对的圆周角。

涉及两圆时，同类弦的长度比可以转成“半径比 × 正弦比”。在平行四边形中，也可沿对角线划分出的三角形使用正弦定理。

余弦定理与过顶点线段​

a2=b2+c2−2bccos⁡A.a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.

当夹角和邻边容易计算时，优先用余弦定理。常用特例为中线长与内角平分线长：

ma2=2b2+2c2−a24,ℓa=2bcb+ccos⁡A2.m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4},\qquad \ell_a=\frac{2bc}{b+c}\cos\frac A2.

若 D∈BCD\in BC，BD=m,DC=n,AD=dBD=m,DC=n,AD=d，Stewart 定理给出

b2m+c2n=a(d2+mn),m+n=a.b^2m+c^2n=a(d^2+mn),\qquad m+n=a.

Ceva 与 Menelaus：先统一有向比​

令 D∈BC,E∈CA,F∈ABD\in BC,E\in CA,F\in AB（均允许在边的延长线上），记

D=(1−t)B+tC,BDDC:=t1−t,D=(1-t)B+tC,\qquad \frac{BD}{DC}:=\frac t{1-t},

另外两边同样定义。内部点的比为正，外部点的比为负。

在相关交点存在且不退化时：

AD,BE,CF 共点⟺BDDCCEEAAFFB=1,AD,BE,CF\text{ 共点}\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB}=1, D,E,F 共线⟺BDDCCEEAAFFB=−1.D,E,F\text{ 共线}\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB}=-1.

若全部使用无向长度，Menelaus 的乘积写成 11，但必须另外检查点的内外位置。不能把两套符号规则混在一起。

对于三个内分角，三角形式的 Ceva 为

sin⁡∠BADsin⁡∠DACsin⁡∠CBEsin⁡∠EBAsin⁡∠ACFsin⁡∠FCB=1.\frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle DAC} \frac{\sin\angle CBE}{\sin\angle EBA} \frac{\sin\angle ACF}{\sin\angle FCB}=1.

原笔记的“上帝之眼”是指：从同一个观察点出发，将线段比例改写成对应张角的正弦比，再使用 Ceva 或 Menelaus。

面积比与分角定理​

若 DD 在边 BCBC 内部，则

[ABD][ACD]=BDDC=ABsin⁡∠BADACsin⁡∠CAD,\frac{[ABD]}{[ACD]}=\frac{BD}{DC} =\frac{AB\sin\angle BAD}{AC\sin\angle CAD},

所以

sin⁡∠BADsin⁡∠CAD=BDDCACAB.\frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle CAD} =\frac{BD}{DC}\frac{AC}{AB}.

若 DD 是中点，右边只剩 AC/ABAC/AB。若 PP 为外接圆在 AA 处的切线与 BCBC 的交点，则在交点有限时，无向长度满足

PBPC=AB2AC2.\frac{PB}{PC}=\frac{AB^2}{AC^2}.

共边面积比也很常用：P,Q,MP,Q,M 共线，M∈ABM\in AB 时，[PAB]/[QAB][PAB]/[QAB] 等于相应有向高之比。圆内接四边形 ABCDABCD 的对角线交于 PP 时，

BPPD=AB⋅BCAD⋅CD\frac{BP}{PD}=\frac{AB\cdot BC}{AD\cdot CD}

（按四边形顶点沿圆周依次为 A,B,C,DA,B,C,D）。使用速记公式前必须核对各点命名，不能直接套用不同图形的字母顺序。

线性正弦引理的适用条件​

设 α,β,γ,δ>0\alpha,\beta,\gamma,\delta>0，且

α+β=γ+δ=s<π,sin⁡αsin⁡β=sin⁡γsin⁡δ.\alpha+\beta=\gamma+\delta=s<\pi, \qquad \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{\sin\gamma}{\sin\delta}.

则 α=γ,β=δ\alpha=\gamma,\beta=\delta。理由是

ddtsin⁡tsin⁡(s−t)=sin⁡ssin⁡2(s−t)>0(0<t<s).\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\sin t}{\sin(s-t)} =\frac{\sin s}{\sin^2(s-t)}>0\quad(0<t<s).

它常用于等角线及共线角顶点的比较。原笔记仅限制单个角的范围；这里补上 s<πs<\pi。当 s=πs=\pi 时比值恒为 11，不能推出两角相等。

Ptolemy、三弦与 Casey​

若 A,B,C,DA,B,C,D 沿圆周依次排列，Ptolemy 定理为

AB⋅CD+AD⋅BC=AC⋅BD.AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD.

当射线 ACAC 位于 ∠BAD\angle BAD 内部时，相应三弦关系可以写成

ABsin⁡∠DAC+ADsin⁡∠BAC=ACsin⁡∠BAD.AB\sin\angle DAC+AD\sin\angle BAC=AC\sin\angle BAD.

Casey 定理把四个点推广为与同一圆相切的四个圆：在四圆互不相交、按切点顺序排列且采用相应外公切线段长的情形，

l12l34+l14l23=l13l24.l_{12}l_{34}+l_{14}l_{23}=l_{13}l_{24}.

其他相切配置需调整切线类型和符号。退化成点圆时，切线段长可由圆幂开方表达；使用逆命题还需检查构型条件。

特殊点的选量​

内心问题常把分角设成基本角，或用三边与半周长简化；垂心问题先导角，垂直也可尝试差平方；外心问题可优先观察半径与圆幂。