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恒等变换：公式与符号检查

来源：《怎样三角.md》§6.0.3。含分式的公式均要求分母不为零，含正切的公式还要求相应正切有定义。

和差角​

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β,cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β,tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β.\begin{aligned} \sin(\alpha\pm\beta)&=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\\ \cos(\alpha\pm\beta)&=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta,\\ \tan(\alpha\pm\beta)&=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}. \end{aligned}

二倍角​

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α=2tan⁡α1+tan⁡2α,cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α=1−tan⁡2α1+tan⁡2α,tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α.\begin{aligned} \sin2\alpha&=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha},\\ \cos2\alpha&=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1\\ &=1-2\sin^2\alpha=\frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha},\\ \tan2\alpha&=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}. \end{aligned}

和差化积​

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2,sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2,cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2,cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2.\begin{aligned} \sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},\\ \sin\alpha-\sin\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2},\\ \cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},\\ \cos\alpha-\cos\beta&=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}. \end{aligned}

积化和差与平方差​

sin⁡αcos⁡β=sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)2,cos⁡αcos⁡β=cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)2,sin⁡αsin⁡β=cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)2,sin⁡(α+β)sin⁡(α−β)=sin⁡2α−sin⁡2β,cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=cos⁡2α−sin⁡2β.\begin{aligned} \sin\alpha\cos\beta&=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}2,\\ \cos\alpha\cos\beta&=\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}2,\\ \sin\alpha\sin\beta&=\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}2,\\ \sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)&=\sin^2\alpha-\sin^2\beta,\\ \cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)&=\cos^2\alpha-\sin^2\beta. \end{aligned}

只求比例，不急着求单个值​

若 sin⁡(α+φ)/sin⁡φ=k\sin(\alpha+\varphi)/\sin\varphi=k，展开得到

sin⁡αcot⁡φ+cos⁡α=k.\sin\alpha\cot\varphi+\cos\alpha=k.

当 sin⁡α≠0\sin\alpha\ne0 时，

cot⁡φ=k−cos⁡αsin⁡α.\cot\varphi=\frac{k-\cos\alpha}{\sin\alpha}.

后续只需要这个比值时，不必分别解出带根式的 sin⁡φ\sin\varphi、cos⁡φ\cos\varphi。

三角形中的常用恒等式​

利用 A+B+C=πA+B+C=\pi，有

sin⁡(B+A2)=sin⁡(C+A2)=cos⁡C−B2,\sin\left(B+\frac A2\right)=\sin\left(C+\frac A2\right) =\cos\frac{C-B}{2}, sin⁡2B−sin⁡2C=2cos⁡Asin⁡(C−B),\sin2B-\sin2C=2\cos A\sin(C-B), sin⁡2B+sin⁡2C=2sin⁡Acos⁡(C−B),\sin2B+\sin2C=2\sin A\cos(C-B), b−c=4Rsin⁡A2sin⁡B−C2,b+c=4Rcos⁡A2cos⁡B−C2,b-c=4R\sin\frac A2\sin\frac{B-C}{2},\qquad b+c=4R\cos\frac A2\cos\frac{B-C}{2}, cos⁡A2=cos⁡B2sin⁡C2+cos⁡C2sin⁡B2.\cos\frac A2=\cos\frac B2\sin\frac C2+\cos\frac C2\sin\frac B2.

符号校订：原笔记的 b−cb-c 公式写为 sin⁡((C−B)/2)\sin((C-B)/2)。按 b=2Rsin⁡B,c=2Rsin⁡Cb=2R\sin B,c=2R\sin C 应改成 sin⁡((B−C)/2)\sin((B-C)/2)；若 C>BC>B，则 c>bc>b，两边都应为负值。