构型更换：先整理图形

来源：《怎样三角.md》§6.0.1。

消点、添点和拆分

消点：先确定图形的生成顺序，优先消去后生成的点。若构造关系绕远，可以改变构造顺序。直线型问题常用共边面积比、定比分点公式；遇到明显相似，可以用对应点或对应边替换难处理的量。

添点：根据已有结构补齐辅助线或特殊点。例如补平行四边形，把中点关系改写成平行与等长；补直径，把直角转成圆上的信息。

拆分：把互不相关的局部构型分开处理。对称问题先算一半，再由对称性取得另一半。

三种对称操作

结构	可尝试的构造	目的
中点	倍长中线，补成平行四边形	转移线段和方向
中心对称	补齐平行四边形	把关系搬到更方便的位置
轴对称	补齐筝形或反射点	利用等长与等角

常见入口包括垂心与垂足的反射、内心与旁心、弧中点，以及垂心—中点—对径点的联系。

单圆与交圆

圆周角最好通过它所对的弦来刻画。遇到切线，先看弦切角与相似；遇到不在圆上的“浮点”，尝试引出经过它的弦，把张角改成圆周角的和差。

两圆相交时，关注由公共弦产生的等角、相似，以及 Reim 定理所提示的平行关系。相切时相应结构可能退化成切线或位似关系；使用前需要检查点的位置。

共轴与圆幂

证明一点在两圆的根轴上，通常先补出能表达圆幂的割线或切线，再证明两圆幂相等：

$$\operatorname{Pow}_{\omega_1}(P)=\operatorname{Pow}_{\omega_2}(P).$$

若两圆心为 $O_1,O_2$、半径为 $r_1,r_2$，这一条件等价于

$$PO_1^2-PO_2^2=r_1^2-r_2^2.$$

因此，差平方条件可以先理解为一条直线上的轨迹。圆幂比为定值也可能生成共轴圆系成员；幂比为 $1$ 时通常退化为根轴直线。

寻找特殊点之间的联系

优先检查欧拉线、内旁心三角形、弧中点和相关位似。完全四边形中的 Miquel 点、等角共轭、陪位中线等结构，可以提示隐藏的共圆或比例关系。

原笔记的一些 Miquel 构型速记省略了点的定义，不能直接当成无条件公式使用。遇到具体题目时先补齐构型，再调用结论。