基础例题：从公式到证明

下面三个例子是配合参考资料的概念编写的基础练习，用来展示“翻译条件 → 选择公式 → 回到几何”的完整过程，不对应特定竞赛真题。

例 1：单位圆内接三角形的垂心

问题。 非退化三角形 $ABC$ 内接于单位圆，证明其垂心坐标为 $h=a+b+c$。

证明。 先设候选点 $H$ 的坐标为 $a+b+c$，验证它在各条高上。由单位圆约束，

$$\overline{\frac{b+c}{b-c}} =\frac{1/b+1/c}{1/b-1/c} =-\frac{b+c}{b-c}.$$

因此 $(b+c)/(b-c)$ 属于 $\mathrm i\mathbb R$。当 $b+c\ne0$ 时，$h-a=b+c$，所以 $AH\perp BC$。对 $B,C$ 同样验证，就得到三条高的交点。

若 $b+c=0$，则 $BC$ 是直径，$\angle A=90^\circ$，垂心就是 $A$；此时公式也给出 $h=a$。

方法要点。 先写一个候选点，再验证它满足定义；不必先联立两条一般直线求交点。这是观察与验证的基础版本。

例 2：两条单位圆切线的交点

问题。 $A,B$ 是单位圆上互异且不互为对径点的两点，两点处的切线交于 $T$。求 $t$，并证明 $OT\perp AB$。

求交点。 两条切线为

$$z+a^2\bar z=2a,\qquad z+b^2\bar z=2b.$$

相减约去 $a-b$，得 $(a+b)\bar t=2$，所以

$$\bar t=\frac2{a+b},\qquad t=\frac{2ab}{a+b}.$$

由于 $a+b\ne0$，交点存在且有限。于是

$$k_{OT}=\frac t{\bar t}=ab,\qquad k_{AB}=-ab.$$

两方向参数互为相反数，因此 $OT\perp AB$。

若 $a+b=0$，两切线平行；这正是公式分母为零的几何意义。

方法要点。 先求下一步最容易得到的 $\bar t$，再求 $t$；证明垂直只比较方向，不再计算距离。这也是内切点内心系中生成顶点的公式。

例 3：过圆上一点作直线，求第二交点

问题。 圆心为 $U$，点 $P$ 在圆上。过 $P$ 作方向参数为 $k$ 的直线，与圆另一交点为 $Q$。求 $q$。

先移轴。 令 $w=z-p$，圆心变成 $v=u-p$。因为圆经过新原点，圆方程为

$$w\bar w-\bar v w-v\bar w=0.$$

直线是 $w=k\bar w$。代入并提取已知根 $w=0$，得另一交点满足

$$w=v+k\bar v.$$

再移回。

$$\boxed{q=u+k(\bar u-\bar p).}$$

例如单位圆上 $p=1$、方向 $k=1$，就得到 $q=-1$；方向 $k=-1$ 时得到 $q=1$，表示这条直线在 $P$ 处相切。

方法要点。 让已知圆上点成为原点，二次方程立即出现已知根；算完马上移回原坐标。这就是分阶段移轴中的“闪移再闪回”。

这三个例子分别对应参考资料中的单位圆语言、直线点斜式与滑动圆斜式。概念参考：《复数法世界观与方法论》第 2–6、10–12 页；推导为本站补充。