观察与验证

核心规则：观察用来提出路线，原条件用来完成证明。 「看图敢说话」是敢于把条件直接写出来；「观察省时间」是认出表达式的结构，减少不必要的计算。

四种语言之间切换

表示方式	单位圆上的点	适合处理
代数约束	$z\bar z=1$	消元、因式分解、方程系
笛卡尔形式	$z=x+iy$，$x^2+y^2=1$	实数不等式、范围、正负
欧拉形式	$z=e^{i\theta}$	旋转、角关系、单位根
几何意义	$	z

这些表示共享同一组自由度。若条件是角关系，可以先设角参数；若最后出现实数不等式，就拆实部、虚部，无需坚持一种写法到底。

例如 $A,B,C$ 互异，若从向量 $AC$ 到 $AB$ 的有向角为 $\theta$，可直接写

$$b-a=t e^{i\theta}(c-a),\qquad t>0.$$

若只描述两条无向直线的夹角模 $\pi$，则可用非零实数 $t$。角的取值约定和点的位置决定符号，不能靠示意图代替论证。

先识别实数、纯虚数和单位复数

对任意复数 $u$，

$$u\in\mathbb R\iff u=\bar u, \qquad u\in i\mathbb R\iff u=-\bar u.$$

若 $u\ne0$，也可以检查 $u/\bar u$ 是否为 $1$ 或 $-1$；模长为 $1$ 则检查 $u\bar u=1$。使用除法前不能遗漏 $u=0$。

设不同的 $a,b$ 在单位圆上，令 $u=(a+b)/(a-b)$。直接取共轭可得

$$\bar u =\frac{1/a+1/b}{1/a-1/b} =-\frac{a+b}{a-b} =-u.$$

所以 $u$ 是纯虚数。这个式子也反映弦中点与垂径的关系；当 $a=-b$ 时，$u=0$，代数结论仍成立。遇到实数或纯虚数的和，可以先去掉性质已经明确的部分，只验证剩余部分。

带着目标整理表达式

要证共线，先看位移之比；要证等距，先看模长之比；要证定点，先看结果是否还含动参数。若复杂表达式突然化为简单的 $a+b-p$，值得检查它是否表示关于 $AB$ 中点的对称点。

目标也可以帮助猜因子：若希望证明 $G=0$，可以寻找已知关系 $F=HG$。但只有已知 $F=0$ 且 $H\ne0$ 时，才能推出目标；$H=0$ 的情形必须另行处理。

猜点之后，补齐唯一性

可以从结论反推候选点 $p_0$，但正式论证应依次完成：

1. 用原条件验证 $p_0$ 满足原构造的全部方程。
2. 验证位置和非退化条件，并证明原构造在该范围内唯一。
3. 因而原构造点就是 $p_0$，再检验它满足结论。

不能先把结论加入方程组，再将求出的结果称为「由原条件计算得到」。数值试验和图形观察可以发现候选关系，最终仍需恒等式、几何推导或有明确前提的唯一性论证。

参考：本地《复数法世界观与方法论.pdf》第 2–3、16–18 页（四种语言、看图敢说话、观察省时间）；公式示例及避免循环论证的步骤为本站补充。