方程与曲线系

核心规则：先利用方程的次数、公共零点和线性关系，再决定是否展开。 点的显式坐标很长，不代表定义它的方程也难处理。

赋值不展开

设 $F(u),G(u)$ 是同一域上的一元多项式，次数均不超过 $n$ 。若在 $n+1$ 个互异的值处精确相等，就有 $F\equiv G$ 。这是次数限制带来的证明，不是数值抽样。

例如，已知 $F$ 的次数至多为二、二次项系数为 $A$ ，且 $F(1)=F(-1)=0$ ，则

F(u)=A(u^2-1).

因为两边之差至多一次，却有两个不同的根。遇到长表达式时，可以选择让某个因子消失的值，逐步确定系数。

有分母时先明确非零范围，再清分母。多元式不能仅凭几个任意样本判定恒等；若按某个主元使用上述方法，要证明的是赋值后关于其余变量的恒等式。用互素因子判断零多项式，也必须给出因子整除关系和次数上界。

若要证明两个约束定义同一个点，方程成比例还不够：须核对定义域，并证明其中满足题目位置条件的解唯一。

先把方程统一为实值形式。设

C(z,\bar z)=z\bar z-1,\qquad L(z,\bar z)=z+\bar z-2s,\quad -1<s<1.

单位圆与直线 $L=0$ 有两个不同的交点。对任意实数 $\lambda$ ，

C+\lambda L=0

都是经过这两个点的圆。需要该圆再过已知点 $p$ 时，只解

C(p,\bar p)+\lambda L(p,\bar p)=0.

若 $L(p,\bar p)\ne0$ ，参数唯一；若它为零，则需检查 $C(p,\bar p)$ ，不能直接相除。一般使用圆系时，还应检查方程是否退化，以及圆是否真实存在。

更一般地，已知 $F_1=F_2=0$ ，构造恒等式

G=A F_1+B F_2

即可推出 $G=0$ 。若 $A,B$ 为有理式，需要检查分母。这是可直接核验的证明方式，并不意味着任何几何结论都必然具有这种未经处理的表达。

当多个圆经过同一点时，可以先把该点移到原点，再作单位圆反演

w=\frac1{\bar z},\qquad z\ne0.

例如过原点的非退化圆

z\bar z-\bar a z-a\bar z=0,\qquad a\ne0

代入 $z=1/\bar w$ 后变为

1-\bar a w-a\bar w=0,

即一条直线。若目标主要涉及共点、共圆或成角，反演可能显著简化图形；涉及中点、圆心和长度时，必须重新翻译这些性质。反演中心本身不在有限平面映射的定义域内。

复分式线性变换

T(z)=\frac{az+b}{cz+d},\qquad ad-bc\ne0

称为 Möbius 变换，在扩充复平面上把圆或直线映为圆或直线。它对应复射影直线上的变换，不能等同于任意实平面的射影变换。上面的欧氏反演含有共轭，也应与这一公式区分。

参考：本地《复数法世界观与方法论.pdf》第 12–15 页（赋值不展开、曲线系、反演）；示例、定义域与变换范围说明为本站补充推导。