移轴与坐标流

核心规则：坐标可以暂时不解，坐标变换与约束必须写清。 用一个符号连同定义它的方程继续计算，称为「免解坐标流」。

分阶段移轴

平移、旋转和伸缩可以统一写成

$$w=\frac{z-c}{\lambda},\qquad \bar w=\frac{\bar z-\bar c}{\bar\lambda},\qquad \lambda\ne0.$$

新原点是旧点 $c$。若以半径为 $R>0$ 的圆为新单位圆，可取 $|\lambda|=R$。反变换为 $z=c+\lambda w$。

计算中要区分旧坐标 $z$、新坐标 $w$ 和固定参数 $c,\lambda$。旧点满足 $z\bar z=1$，并不表示新点满足 $w\bar w=1$；共轭关系要代换到新方程中。无法方便地建立新单位圆时，可以只为一次交点或投影计算移轴，算完即移回。

已知圆上一点：二次交点降次

设半径非零的圆心为 $c$，已知圆上点 $p$，过 $p$ 的直线斜率为 $k$，其中 $|k|=1$。移轴令 $w=z-p$，记 $r=c-p$，圆与直线分别为

$$w\bar w-\bar r w-r\bar w=0, \qquad w=k\bar w.$$

将 $\bar w=w/k$ 代入，得到

$$w\bigl(w-r-k\bar r\bigr)=0.$$

一个根是已知点 $w=0$，另一个为 $w=r+k\bar r$，故第二交点

$$q=p+r+k\bar r.$$

若 $r+k\bar r=0$，两根重合，直线在 $p$ 处相切；此时没有与 $p$ 不同的第二交点。这个推导解释了已知一个交点时为何常能避免求根公式。

保留二次约束

若交点参数 $u$ 满足

$$u^2+\alpha u+\beta=0,$$

就保留 $u^2=-\alpha u-\beta$。任何关于 $u$ 的多项式都能反复降次为 $Au+B$。有理式也可先在分母非零的范围内通分，再对分子降次。

这里的「有理」相对于基域 $K$ 而言：$K$ 由已知参数和所需共轭生成，$\alpha,\beta\in K$。若上述二次多项式在 $K$ 上不可约，那么一个系数在 $K$ 中的多项式若在一根处为零，也在另一根处为零。这是代数共轭关系，不一定是图上的镜面对称。

该结论不能代替位置判断。不等式、弧段选择或额外参数可以区分两根；若目标只对其中一根成立，就必须检查这些信息。坐标流也不保证任意目标都自动化成零，关键是目标是否确由所列约束推出。

两个二次式有唯一公共根

设同一基域上的两个首一二次式为

$$f(u)=u^2+au+b,\qquad g(u)=u^2+cu+d.$$

若 $a\ne c$，公共根只能是

$$u=\frac{d-b}{a-c}.$$

还须代回确认它确实是公共根。若 $a=c$，则 $b=d$ 时两式相同，$b\ne d$ 时没有公共根。

若 $g=0$ 是待证结论，消元只能用于猜候选值。正式证明必须从原条件验证候选值，并用原题的位置条件或其他论证确认唯一性，再验证 $g=0$。不能把待证式当作已知约束完成证明。

参考：本地《复数法世界观与方法论.pdf》第 10–13 页（分阶段移轴、免解坐标流）；交点公式、基域及非退化条件为本站补充推导。