单位圆与基本点

如果一个圆是题目的核心，就把圆心移到原点、半径缩放为 $1$。圆上点 $A$ 的坐标满足

$$a\bar a=1,\qquad \bar a=\frac1a.$$

这是单位圆的主要收益：基本点的共轭可以直接消去。圆内、圆外的一般点仍需保留共轭。

用已有方向确定实轴

选单位圆后，还可以旋转整个坐标系。若某条对称轴或常用方向很重要，就让它成为实轴或平行于实轴。

例如，单位圆上互异的 $B,C$ 关于实轴对称，则

$$c=\bar b=\frac1b,\qquad bc=1.$$

这样做会牺牲三点的形式对称，但可能明显减少计算。是否值得，要看后续主要使用哪些点和方向。

中点与弦长

弦 $AB$ 的中点 $M$ 为

$$m=\frac{a+b}{2},\qquad \bar m=\frac{a+b}{2ab}.$$

弦长平方为

$$AB^2=(a-b)(\bar a-\bar b) =-\frac{(a-b)^2}{ab}.$$

右边虽然写成复数式，却是非负实数。对同一个式子识别实数性和几何意义，往往比继续展开更有用。

若 $a\ne b$，还有

$$\overline{\frac{a+b}{a-b}}=-\frac{a+b}{a-b}.$$

因此 $(a+b)/(a-b)$ 属于 $\mathrm i\mathbb R$。当 $a+b\ne0$ 时，它说明圆心到弦中点的方向垂直于弦；当 $a+b=0$ 时，$AB$ 是直径，中点即原点。

外心、垂心、重心与九点圆

设非退化三角形 $ABC$ 的外接圆是单位圆，则

$$o=0,\qquad h=a+b+c,\qquad g=\frac{a+b+c}{3},\qquad n=\frac{a+b+c}{2}.$$

这里 $H,G,N$ 分别是垂心、重心和九点圆圆心；九点圆半径为 $1/2$。

这些式子可以直接推导。比如 $h-a=b+c$，而

$$\frac{h-a}{b-c}=\frac{b+c}{b-c}\in\mathrm i\mathbb R.$$

所以当方向非零时 $AH\perp BC$；对另外两条高同理。直角三角形的垂心在直角顶点，可单独检查，不把零向量当作一条直线。

证明点 $X$ 在九点圆上时，常直接验证

$$\left|x-\frac{a+b+c}{2}\right|=\frac12$$

即可，不必再求一遍九点圆方程。

什么时候不强设单位圆

如果图中没有反复使用的共圆点，也不需要上述中心公式，先写直线或相似关系就可以。若真正起作用的是内切圆、九点圆或圆 $BIC$，可以把那个圆设为单位圆，见圆的生成与坐标选择及三种内心系。

参考：《复数法世界观与方法论》第 2–3、7–8、11 页；《复数法课程群聊发言稿》第 4–8、22、68 页。基本点公式及推导为本站配套补充。