直线、斜率与交点

复数法的直线也可以有“点斜式”。这里的斜率记录方向角的两倍，与解析几何中的实数斜率不同。

方向与点斜式

若直线的非零方向向量是 $v$，定义

$$k=\frac v{\bar v}=e^{2\mathrm i\theta},\qquad |k|=1,$$

其中 $\theta=\arg v$。反向选取 $-v$ 不改变 $k$。实轴方向对应 $k=1$，虚轴方向对应 $k=-1$。

过点 $P$、方向参数为 $k$ 的直线为

$$z-p=k(\bar z-\bar p), \qquad z-k\bar z=f,\qquad f=p-k\bar p.$$

课程把 $z-k\bar z$ 称为“直线的头”：方向确定后，只需代入一个好算的点，就能得到常数项。

若从 $k,f$ 出发定义直线，除 $|k|=1$ 外，还需 $f=-k\bar f$。任意复数 $f$ 未必给出一条有点的直线；由 $f=p-k\bar p$ 生成时，这个条件自动成立。

平行、垂直与成角

设两直线斜率为 $k_1,k_2$，则

$$\text{平行或重合}\iff k_1=k_2, \qquad \text{垂直}\iff k_1=-k_2.$$

从第一条直线到第二条直线的有向角 $\theta$ 满足

$$\frac{k_2}{k_1}=e^{2\mathrm i\theta}.$$

因此，比较两组有向角只需比较斜率商。该关系确定的是模 $\pi$ 的方向角，若要区分普通角的补角，应回到题目的位置条件。

单位圆上的弦

对单位圆上互异的 $A,B$，

$$k_{AB}=\frac{a-b}{1/a-1/b}=-ab.$$

代入点 $A$ 得到

$$\boxed{z+ab\bar z=a+b.}$$

这同时给出了弦所在直线的方向和方程。注意它表示整条直线，点在线段内还需要位置或参数范围条件。

垂足与对称点

关于直线 $z-k\bar z=f$ 的反射是

$$s=f+k\bar p.$$

于是 $P$ 的垂足 $Q$ 为

$$q=\frac{p+f+k\bar p}{2},\qquad d(P,\ell)=\frac{|p-f-k\bar p|}{2}.$$

取 $p=0$ 就得到原点的对称点 $f$、垂足 $f/2$ 和距离 $|f|/2$。这也解释了直线常数项的几何意义。

特别地，对单位圆弦 $AB$，

$$s=a+b-ab\bar p,\qquad q=\frac{p+a+b-ab\bar p}{2}.$$

两直线交点

联立

$$z-k\bar z=f,\qquad z-j\bar z=g$$

得到

$$\boxed{z=\frac{kg-jf}{k-j}},\qquad k\ne j.$$

若 $k=j$，应判断平行或重合，不能使用交点公式。

对于单位圆上的两弦 $AB,CD$，代入即可得

$$z=\frac{ab(c+d)-cd(a+b)}{ab-cd},\qquad ab\ne cd.$$

若下一步需要的是 $z-p$，先平移到 $P$ 再联立，通常比求出 $z$ 后再次通分更简洁，见移轴与免解坐标流。

参考：《复数法世界观与方法论》第 3–5、10 页；《复数法课程群聊发言稿》第 9–13、34–35 页。斜率约定依原课程，反射和交点公式补充了非退化条件。