§6 尺子找共线

“尺子找共线”是用容易计算的点重新描述困难点：先在准确的图上寻找共线关系，再据此构造候选点，最后验证。它把几何观察转化为一次方程，适合交点、圆心等对象的原始定义较难计算时使用。

本节整理自《解析版 9+2 with 11》PDF 第 98–114 页；理论在第 98–103 页。图上的共线关系只是猜想，不能代替证明。

6.1 从困难点转向可解点

如果结论点 $X$ 由复杂的圆交点定义，直接联立往往会产生根式。此时可以寻找容易求出的 $P,Q$ ，猜测 $X\in PQ$ ，把“求两圆交点”改为“求直线与一个已知对象的交点”。新描述是否有用，取决于它是否减少了实际计算。

教材把已知点及其简单几何变换产生的点称为“可解点集”。设已知点为 $a_i$ ，常用变换为 $T_j$ ，则候选点可记为

a_{ij}=T_j(a_i).

优先检查中点、对称点、对径点、垂足、切点和外心。它们来自已知点与点、点与线、点与圆的简单关系，通常可以沿用现成坐标或方程。内心、旁心等点是否容易计算，则要结合所选的内心坐标系判断。

“可解”是对当前表示而言的。例如一个垂足虽然有通式，但若点坐标与直线系数都很复杂，代入仍然困难；可以先移轴，让相关点成为原点或让相关直线成为坐标轴。

教材第 101 页给出的流程可以整理为五步：

不能因为候选点在两张图上看起来正确，就直接把猜想作为已知。计算上可以先使用新描述得到候选点，但证明中必须补回原条件，确认它就是题目中的对象。

对于 $P(x_1,y_1)$ 、 $Q(x_2,y_2)$ 、 $X(x,y)$ ，共线条件是

\begin{vmatrix} x&y&1\\ x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1 \end{vmatrix}=0.

也可以使用不除以坐标差的两点式：

(y_2-y_1)(x-x_1)-(x_2-x_1)(y-y_1)=0.

这些形式直接保留生成点的信息，也能处理竖直线。是否写成斜率式，应以当前公式是否简洁为准，不必额外引入没有参与图形生成的截距变量。

用约束语言说，原对象满足 $C_1=\cdots=C_r=0$ 。增加猜想 $L=0$ 后，如果只用其中几个约束构造出了 $X'$ ，仍要把 $X'$ 代回其余约束。只有在原条件确定的对象唯一时，才可据此认定 $X'=X$ 。若原条件有两个交点，则还要说明选择的是哪一个。

教材的策略是先尝试简单的重述：检查已有共线，再补一层简单变换。若候选点越来越复杂，应回看建系和变量选择，判断是否值得继续。这个策略不能保证每道题都能找到简单共线关系。

作图时，关键线和辅助线宜有轻重之别，字母不要遮住点；三角形避免画成无意的等腰或直角形。两张不同形状的图可以排除偶然重合，但精确证明仍由方程和原条件完成。尺子的作用是发现候选关系，代数的作用是检验它。

题目的已有文本解答按对应 NB 整理；只含手写的解答保留为“解答待添加”。