10 plus：反演不建系

原教材在“反演消多圆”之后，补充了一组直接研究像图的纯几何方法。反演后的题目若已能用圆周角、相似或切线解决，就不必再建立坐标。

弧中点与鸡爪圆反演

设 $S$ 为三角形 $ABC$ 不含 $A$ 的弧 $BC$ 中点，$I$ 为内心，$J_A$ 为 $A$ 旁心。利用

$$SB=SC=SI=SJ_A,$$

可以把圆 $BIC$ 作为反演基圆。$B,C,I,J_A$ 均为不动点，适合处理与内心、弧中点和 $A$ 角平分线相关的图形。

这类反演常只作用于局部：把像点与原图放在一起，寻找新的共圆、比例或对称关系，而不必重画整道题。

来源：第 207–215 页，数之谜 @JY、@科学之杨等。

内切圆、旁切圆反演

取内心 $I$ 为中心、内切圆半径 $r$ 为反演半径。切点保持不动；三边作为内切圆的切线，各自变成经过 $I$、且在原切点处相切的圆。

在反演圆心为原点时，若切线实值方程为

$$ux+vy=r,\qquad u^2+v^2=1,$$

它在半径 $r$ 的反演下成为

$$x^2+y^2=r(ux+vy).$$

这给出了“边变圆”的直接说明。旁切圆可用同样的思路，位置与切点应按原图重新确定。

来源：第 216–225 页。

垂心反演：注意反演幂的符号

在锐角三角形中，设 $D,E,F$ 为三条高的垂足，$H$ 为垂心。由相关共圆关系，有

$$HA\cdot HD=HB\cdot HE=HC\cdot HF=g>0.$$

若希望交换 $A,D$，$B,E$，$C,F$，需要用反演幂 $-g$：先作幂为 $g$ 的普通反演，再关于 $H$ 中心对称。因为锐角构型下，顶点和相应垂足在 $H$ 的两侧。

于是原外接圆对应垂足三角形的外接圆，即九点圆。对钝角三角形要重新使用有向量或讨论位置，不能直接套用锐角图中的符号。

来源：第 226–232 页，数之谜 @UZ QUEEN。

线段乘积相等：把条件变成反点对应

若同一条射线上满足

$$OA\cdot OB=OC\cdot OD=k>0,$$

以 $O$ 为中心、$k$ 为反演幂，就能同时交换 $A,B$ 与 $C,D$。原来分散的乘积关系，转成同一个变换下的对应关系。

使用前须检查各对点是否共线、位于哪条射线；若在相反射线上，应使用带符号的反演幂或另加中心对称。

来源：第 233–242 页。原稿该部分含印刷分析与手写推导，未有对应文字的解答标为“解答待添加”。

多圆共点：优先消去共同经过的点

当多个圆经过 $P$，以 $P$ 为反演中心可同时把它们变成直线。两圆的另一个交点对应两直线的交点；若两圆在 $P$ 相切，像直线平行。

圆心本身的像通常不是像圆的圆心。若原圆经过反演中心，可以先求它对应的直线，再利用该直线与中心的关系研究原圆心的像。

来源：第 243–251 页，数之谜 @王聪。

密克点与角关系

如果若干圆因圆周角关系共同经过一个密克点，把该点设为反演中心，可以把多个共圆条件同时变成共线关系。仍需逐一记录：哪个圆变成哪条直线，哪个交点变成哪两条直线的交点。

题面即使没有画出圆，也可能隐藏着共圆或逆相似关系。先从角条件认出这些对象，再决定反演中心；不能仅凭示意图把任意角式当成共圆条件。

来源：密克点反演第 252–259 页；无圆点阵与特殊角关系第 260–263 页。

两次反演

先完成第一次反演，将像图视为一道新题。若新图又呈现熟悉的内切圆、弧中点或角平分线结构，可以再选第二个中心和反演幂。

原稿的一类组合为：先以内切圆作反演，再在切点三角形中使用伊朗式反演。设切点三角形为 $DEF$，第二步中心取 $D$，基准反演幂可按该图选择 $DE\cdot DF$ 的适当倍数，并明确是否附加轴反射。

两次变换应各自列出点的对应表。最终结论属于第二幅像图，必须通过两次对应关系依次还原。

来源：第 264–270 页，数之谜 @O.O、@科学之杨。

练习的使用方式

本节题目分为弧中点、内心、垂心与乘积关系和多圆、密克点、角度与两次反演两篇。已有 nb 解答的题目链接到文字解析；其余手写证明保留 “解答待添加”，不将扫描识别的碎片拼成证明。

来源：《解析版 9+2 with 11.pdf》第 207–270 页。“10 plus”由原稿所列多位作者共同完成，@RynW1988 整理；本页保留方法与可核对的公式，省略聊天与非数学内容。