§10 反演消多圆

反演与解析法的配合，首先发生在图形层面：把若干圆变成直线，或让难以刻画的相切、共点关系变得简单，再决定是否建立坐标。

什么时候先考虑反演

• 多个圆经过同一个点，可考虑以该点为反演中心。
• 结论是两圆相切，反演后可能变为直线与圆相切，或两条直线平行。
• 定圆轨迹难以直接表达，反演后可能成为定直线。
• 已知成对线段乘积相等，可以把这两点安排成互为反点。
• 相似或角度关系分散在图上，反演后可能集中到同一个三角形。

反演并不保证每题都变简单。先画出主要对象的像，比较圆的数量、已知方向和目标关系，再选择下一步。

普通反演的坐标式

以 $O=(0,0)$ 为中心、半径为 $R>0$ 的反演满足

$$OP\cdot OP'=R^2,\qquad P'=\left(\frac{R^2x}{x^2+y^2},\frac{R^2y}{x^2+y^2}\right),\quad P\ne O.$$

中心改为 $O=(c,d)$ 时，先平移再移回：

$$x'=c+\frac{R^2(x-c)}{(x-c)^2+(y-d)^2},\qquad y'=d+\frac{R^2(y-d)}{(x-c)^2+(y-d)^2}.$$

过中心的圆变成不经过中心的直线；不过中心的圆一般仍变成圆。反演不保长度和中点，不能把原图的距离关系直接搬到像图。

伊朗式反演

对三角形 $ABC$，先以 $A$ 为中心、反演幂 $AB\cdot AC$ 作普通反演，再关于 $A$ 的内角平分线反射。这个复合变换交换 $B,C$。

原教材特别强调这种情形：它保留了原三角形的一部分结构，适合在已有坐标系中继续计算。相反，若一般反演后图形变化很大，可以把像图当作新题，重新选择原点、轴和单位长度。

常用框架中的坐标变换

设

$$A=(0,0),\qquad B=(-b,-1),\qquad C=(c,-1).$$

伊朗式反演把 $P=(x,y)$ 变成

$$\boxed{ x'=\frac{(b-c)y-(bc+1)x}{x^2+y^2},\qquad y'=\frac{(b-c)x+(bc+1)y}{x^2+y^2}. }$$

代入 $B=(-b,-1)$，即可得到 $C=(c,-1)$。这一检查也能帮助确认符号。

用复数表示，同一式子是

$$z'=\frac{(-b-\mathrm i)(c-\mathrm i)}{z},\qquad z\ne0.$$

它是普通反演与轴反射的复合，不应与只含 $1/\bar z$ 的普通反演混淆。

曲线方程怎样变换

这个变换是对合：连续做两次回到原点。因此，对原曲线方程 $F(x,y)=0$，可把上面的 $x',y'$ 代入原方程，再在排除反演中心后清分母。

例如原三角形外接圆

$$x^2+y^2=(c-b)x-(bc+1)y$$

在此变换下成为 $BC$ 所在直线 $y=-1$。这体现了“过中心的圆变直线”。

清分母产生的反演中心不是原映射的有限像点，必须从结论中排除。

解题时的记录顺序

1. 写清中心、反演幂，以及是否还附加反射。
2. 列出主要点、直线、圆的对应关系。
3. 在像图上重述题目的条件与结论。
4. 用纯几何或坐标完成验证，再还原原命题。

配套阅读：GDH 讲义例题展示反演后用共轴圆系处理定点；2016 CMO P2提供原坐标中的解析步骤。

来源：《解析版 9+2 with 11.pdf》第 183–189 页；一般反演及伊朗式反演说明由数之谜 @x+、@cxy_MO、@RynW1988 等整理，坐标变换署名 @cxy_MO。