§7 赋值不展开

解析法经常把几何结论归结为多项式恒等式。若直接展开会产生很多项，可以选择使复杂部分归零的代入值，逐项求出需要比较的系数。教材称之为“赋值不展开”。

本节整理自《解析版 9+2 with 11》PDF 第 115–132 页；理论在第 115–118 页。这里使用精确的符号计算，赋值的目的在于确定系数。

7.1 先确定次数，再选择赋值

设要比较

f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_i x^i, \qquad g(x)=\sum_{i=0}^{n}b_i x^i.

证明 $f\equiv g$ ，可以逐一验证 $a_i=b_i$ 。若两个方程只要求相差非零常数倍，则先统一最高次项，或比较归一化后的系数。次数相同本身不能推出恒等；随机代入少数数值也不能代替系数验证。

选择赋值时兼顾两件事：使目标系数容易分离；使表达式中最难展开的部分归零。若原式带分母，先确认清分母的条件，并记录分母为零时是否需要单独处理。

对

f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0,

先算常数项 $a_0=f(0)$ ，再从各部分的最高次项收集 $a_2$ 。教材也把它记成 $a_2=f''/2$ ；实算时并不一定需要求导。

选择非零的 $t$ ，使 $f(t)$ 易于计算，则

a_1=\frac{f(t)-a_2t^2-a_0}{t}.

特别地，若 $t=1$ 方便，便有 $a_1=f(1)-a_2-a_0$ 。计算分子时，可以预期最终应含因子 $t$ ，据此组织因式分解，而不用打开每一个括号。

验证过程中可先比较两边的常数项和最高次项。它们若不一致，就及时回查前面的坐标、直线或符号；一致后再处理较困难的中间项。

对 $f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ ，取

f_D(x)=\frac{f(x)-a_0}{x} =a_3x^2+a_2x+a_1.

由于 $f(0)=a_0$ ，分子含因子 $x$ ，所以 $f_D$ 是多项式。已知 $a_3$ 后，选取互不相同、非零且计算方便的 $t_1,t_2$ ：

\begin{aligned} a_2t_1+a_1&=\frac{f(t_1)-a_0}{t_1}-a_3t_1^2,\\ a_2t_2+a_1&=\frac{f(t_2)-a_0}{t_2}-a_3t_2^2. \end{aligned}

这两个一次方程确定 $a_2,a_1$ 。选择 $t_i$ 时，优先让原式不同的复杂部分分别归零。尚未展开的表达式可能看起来带有 $1/x$ ，但应利用整体可整除的性质处理，不能随意删除原式中的项。

对 $f(t,s)$ ，可以把 $t$ 作为主元，把 $s$ 看作参数。主元不必是题图最初的动点参数；优先选最高次数较低、系数较少的那个字母。

例如，要让因子 $t-1$ 、 $t+s$ 、 $1-ts$ 归零，可分别取

t=1,\qquad t=-s,\qquad t=s^{-1}\quad(s\ne0).

如果式子对 $t,s$ 对称，可以先设

u=t+s,\qquad v=ts, \qquad f(t,s)=F(u,v),

再对 $u$ 或 $v$ 比较系数。某个系数本身仍是复杂多项式时，还可以对它再次使用相同方法。

对于二次曲线的多项式，统一记为

F(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F_0.

先收集二次项，再由 $F(0,0)=F_0$ 确定常数项；令 $y=0$ 、 $x=0$ ，分别收集 $D,E$ 。这样无需为了一个系数反复展开整个式子。

把题设约束与目标结论分别化为多项式后，要检查两者是恒等、成比例，还是只有部分公共根。若约束有多个根，仍须用原题的位置条件确定所需对象。角度条件还应检查正负、角的范围和等价变形，不能只凭正切值相同就结束证明。

教材还讨论了在复数法、三角恒等式中的迁移：先转为可比较的代数表达式，再利用次数、对称性与方便的赋值确定系数。是否可用，取决于具体表达式和所选函数之间的独立性。

题目的已有文本解答按对应 NB 整理；只含手写的解答保留为“解答待添加”。