教材补充题目

以下按《解析版 9+2 with 11》原 PDF 页码收录尚无完整匹配 NB 文本解答的印刷题干。公式和点名已对照扫描页核对；印刷解题思路随题收录，原资料中的手写解答暂不转写，保留“解答待添加”。同题重复出现时合并注明页码。

§1 简洁是宗教

第 18 页：2002 高联 P2

在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=60^\circ$，高 $BE,CF$ 交于点 $H$。点 $M,N$ 分别在线段 $BH,HF$ 上，满足 $BM=CN$。若 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，求

$$\frac{MH+NH}{OH}$$

的值。

解答待添加。

第 22 页：2024 北京高中联赛预赛 P13

锐角 $\triangle ABC$ 的三条高线 $AD,BE,CF$ 交于点 $H$。过点 $F$ 作 $FG\parallel AC$，交直线 $BC$ 于点 $G$。设 $\triangle CFG$ 的外接圆为 $\odot O$，$\odot O$ 与直线 $AC$ 的另一个交点为 $P$。过 $P$ 作 $PQ\parallel DE$，交直线 $AD$ 于点 $Q$，连接 $OD,OQ$。求证：$OD=OQ$。

解答待添加。

第 24 页：2022 KMO 决赛 P1

锐角 $\triangle ABC$ 的外心为 $O$，$AD,BE,CF$ 是高。设 $\triangle ABC$ 外接圆在 $B,C$ 处的切线交于点 $P$，过 $P$ 作 $EF$ 的垂线与 $AD$ 交于点 $Q$。过 $A$ 作 $AR\perp EF$ 于点 $R$。求证：$DR\parallel OQ$。

解答待添加。

§2 分阶段移轴

第 37 页：2017 北大夏令营 P1

在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AB<AC$，$I$ 是内心，$AD\perp BC$ 于 $D$。内切圆 $\omega$ 与 $BC$ 切于点 $E$。$F$ 是 $\omega$ 上一点，使得 $\triangle BCF$ 的外接圆与 $\omega$ 内切。线段 $EF$ 与 $AD$ 交于点 $G$，过 $G$ 作 $BC$ 的平行线与 $AE$ 交于点 $H$。求证：$HI$ 经过 $BC$ 的中点。

解答待添加。

第 40 页：2018 夏季新星数学奥林匹克 P2

在非等腰锐角 $\triangle ABC$ 中，$AB>AC$，$\Gamma$ 是外接圆。$M$ 是 $BC$ 的中点，$A_1$ 是 $A$ 在 $\Gamma$ 中的对径点。$D,E$ 分别是 $AB,AC$ 延长线上的点，满足 $BD=AB,CE=AC$。设 $\triangle A_1DE$ 的外接圆与 $\Gamma$ 的另一个交点是 $A_2$。求证：

$$\angle AMC=\angle A_2MC.$$

原资料注明：罗振华供题。

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§3 溢出设变量

第 48 页：2024 北方希望之星数学邀请赛 P3

在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AD,BE,CF$ 是高，$H$ 是垂心。$P$ 是 $D$ 在 $EF$ 上的投影，$Q$ 是 $BC$ 中垂线与 $AH$ 中垂线的交点。求证：$\angle BAP=\angle CAQ$。

解答待添加。

第 50 页：2024 北方希望之星数学邀请赛 P6

在等腰梯形 $ABCD$ 中，$AB\parallel CD$。已知四边形 $ABEF$ 是平行四边形。设 $P$ 是直线 $CE$ 上异于 $E$ 的一点，满足 $BP=BE$；$Q$ 是直线 $CF$ 上异于 $F$ 的一点，满足 $AQ=AF$。求证：$C,D,Q,P$ 四点共圆。

解答待添加。

第 52 页：2024 高联二试 A 卷 P2

在凸四边形 $ABCD$ 中，$AC$ 平分 $\angle BAD$，点 $E,F$ 分别在边 $BC,CD$ 上，满足 $EF\parallel BD$。分别延长 $FA,EA$ 至点 $P,Q$，使得过点 $A,B,P$ 的圆 $\omega_1$ 及过点 $A,D,Q$ 的圆 $\omega_2$ 均与直线 $AC$ 相切。证明：$B,P,Q,D$ 四点共圆。

本题另见第 194 页“反演入门彩蛋”。

解答待添加。

第 54 页：2014 IMO P3

在凸四边形 $ABCD$ 中，$\angle ABC=\angle CDA=90^\circ$，$H$ 是 $A$ 在 $BD$ 上的投影。点 $S,T$ 分别在边 $AB,AD$ 上，使得 $H$ 在 $\triangle SCT$ 的内部，且

$$\angle CHS-\angle CSB=90^\circ, \qquad \angle THC-\angle DTC=90^\circ.$$

求证：直线 $BD$ 与 $\triangle TSH$ 的外接圆相切。

本题在第 87 页重复出现，但该页标题写作“12IMOP5”，与第 54 页的“14IMOP3”冲突。现有 2012 IMO P5 原标 NB 的推导使用另一组点名，结论是 $ML=MK$，不能作为本题解答。

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§4 免解坐标流

第 68 页：2024 西部数学邀请赛 P3

设 $AB,AC$ 是圆 $O$ 的两条切线，$B,C$ 是切点。点 $D,E,F$ 分别在线段 $BC,CA,AB$ 上，满足 $AF<AE$ 且 $\angle FDB=\angle EDC$。设过点 $F,E,C$ 的圆与圆 $O$ 交于 $G,C$ 两点。证明：$\angle AEF=\angle BGD$。

解答待添加。

第 74 页：2015 ISL G5

在 $\triangle ABC$ 中，$AC\ne BC$，边 $AB,AC,BC$ 的中点分别为 $D,F,G$。圆 $\Gamma$ 过 $C$，且与 $AB$ 切于点 $D$，与线段 $AF,BG$ 分别交于点 $H,I$。点 $H'$ 与 $H$ 关于 $F$ 对称，点 $I'$ 与 $I$ 关于 $G$ 对称。直线 $H'I'$ 与 $CD,FG$ 分别交于点 $Q,M$，直线 $CM$ 与 $\Gamma$ 的第二个交点是 $P$。求证：$CQ=QP$。

第 75 页为本题的手写解答续页；题干另见第 267 页“两次反演例三”。

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§5 对称算一半

第 92 页：2014 高联二试 A 卷 P2

在锐角 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC\ne60^\circ$。过 $B,C$ 分别作 $\triangle ABC$ 外接圆的切线 $BD,CE$，满足 $BD=CE=BC$。设直线 $DE$ 与 $AB,AC$ 的延长线分别交于点 $F,G$，$CF$ 与 $BD$ 交于点 $M$，$CE$ 与 $BG$ 交于点 $N$。求证：$AM=AN$。

解答待添加。

第 96 页：2023 ISL G5

在锐角 $\triangle ABC$ 中，$\omega$ 是外接圆，$O$ 是外心。$D,E$ 分别是 $\omega$ 上不同于 $B,C$ 的点，满足 $BD\perp AC,CE\perp AB$。设直线 $CO,AB$ 交于点 $X$，直线 $BO,AC$ 交于点 $Y$。求证：$\triangle BXD,\triangle CYE$ 的外接圆有一个交点在直线 $AO$ 上。

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§6 尺子找共线

第 105 页：2022 东南数学奥林匹克 P2

在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AB>AC$，$H$ 是垂心，$AM$ 是中线，$BE,CF$ 是高。点 $D$ 在 $BC$ 边上，满足 $\angle CAD=\angle BAM$ 且 $\angle ADH=\angle MAH$。求证：$EF$ 平分线段 $AD$。

解答待添加。

第 111 页：2017 USAMO P3

在不等腰 $\triangle ABC$ 中，$\Omega$ 是外接圆，$I$ 是内心。延长 $AI$ 交 $BC$ 于点 $D$、交 $\Omega$ 于点 $M$。以 $DM$ 为直径的圆与 $\Omega$ 交于不同于 $M$ 的点 $K$。直线 $MK$ 与 $BC$ 交于点 $S$，$N$ 是 $IS$ 的中点，$L$ 是 $\triangle KID$ 的外接圆与 $\triangle MAN$ 的外接圆的一个交点。求证：$\Omega$ 过 $IL$ 的中点。

解答待添加。

§7 赋值不展开

第 119 页：1996 IMO P2

$P$ 是 $\triangle ABC$ 内一点，满足

$$\angle APB-\angle ACB=\angle APC-\angle ABC.$$

设 $D,E$ 分别是 $\triangle APB$ 和 $\triangle APC$ 的内心。求证：$AP,BD,CE$ 交于一点。

解答待添加。

第 121 页：2018 罗马尼亚大师杯预选 P6

在 $\triangle ABC$ 中，$O$ 是外心，$M,N$ 分别是 $AB,AC$ 的中点。过 $A$ 作 $AH\perp BC$ 于 $H$，$K$ 是 $AH$ 上一点，使得 $KH=\frac13 AH$。延长 $KO,NM$ 交于点 $Z$，过 $Z$ 作 $KO$ 的垂线，分别与直线 $AB,AC$ 交于点 $X,Y$。求证：$\angle XKY=\angle BKC$。

解答待添加。

§8 曲线系瞪参

第 144 页：2012 ISL G8

直线 $l$ 与 $\triangle ABC$ 的外接圆 $\odot O$ 相离，$O$ 在直线 $l$ 上的投影为 $P$。直线 $BC,CA,AB$ 与 $l$ 分别交于不同于 $P$ 的点 $X,Y,Z$。求证：$\triangle AXP,\triangle BYP,\triangle CZP$ 的外接圆共轴。

解答待添加。

第 149 页：2012 CTST P13

在锐角 $\triangle ABC$ 中，$\angle A>60^\circ$，$H$ 是垂心。$M,N$ 分别是 $AB,AC$ 上的点，满足 $\angle HMB=\angle HNC=60^\circ$。$O$ 是 $\triangle HMN$ 的外心，点 $D$ 与 $A$ 在 $BC$ 的同侧，使得 $\triangle DBC$ 是正三角形。求证：$H,O,D$ 三点共线。

解答待添加。

第 151 页：曲线系例四

$O,H$ 分别是非等腰锐角 $\triangle ABC$ 的外心和垂心，$M$ 是 $BC$ 的中点。设直线 $OA$ 与过 $B,C$ 的高分别交于点 $P,Q$。求证：$\triangle PQH$ 的外心 $O_1$ 在 $AM$ 上。

解答待添加。

第 153 页：2016 ISL G5

在非等腰锐角 $\triangle ABC$ 中，$A$ 在其欧拉线上的投影是 $D$，$A$ 在 $BC$ 上的投影是 $H$，边 $BC$ 的中点是 $M$。过 $A,D$ 的圆 $\odot S$ 分别与边 $AB,AC$ 交于点 $X,Y$。求证：$\triangle XSY$ 的外心到 $H$ 和 $M$ 的距离相等。

解答待添加。

§9 两个内心系

第 163 页：入门彩蛋一

给定 $\triangle ABC$，$I,J$ 分别为内心和 $A$ 旁心，$D,E$ 为 $BC$ 上两点，满足 $\angle DIE=\angle DJE$。证明：$\triangle ADE$ 的外心到 $DE$ 的距离是一个定值。

解答待添加。

第 165 页：入门彩蛋二（原题号 56）

在 $\triangle ABC$ 中，$BC=a,CA=b,AB=c$，$p=\frac12(a+b+c)$，$AD$ 是外接圆的直径，点 $I$ 为内心。点 $E,F$ 分别在 $CA,AB$ 上，且 $AE=p-b,AF=p-c$。求证：$DI\perp EF$。

解答待添加。

第 167 页：入门彩蛋三（原题号 15）

在四边形 $ABCD$ 中，已知 $AB\ne AC$，$\triangle ABC$ 的内切圆 $\odot I$ 与边 $BC$ 切于 $E$。如果 $\angle IAC=\angle EDC$，$\angle IAD=\angle CED$，证明：$\angle ADI=90^\circ$。

解答待添加。

第 169 页：2021 北大金秋营 P1

在锐角 $\triangle ABC$ 中，$\Omega$ 是外接圆，$AD$ 是高，$E$ 是 $A$ 在 $\Omega$ 中的对径点。$\angle BAC$ 的平分线交 $BC$ 于点 $F$，交 $\Omega$ 于点 $G$。延长 $EF$ 交 $AD$ 于点 $K$，$L$ 是 $A$ 关于 $G$ 的对称点。求证：$B,K,C,L$ 四点共圆。

原扫描题干的交点字母有缺失，此处的 $F$ 依原资料示意图标注补齐。

解答待添加。

第 171 页：2012 ISL G4

在非等腰 $\triangle ABC$ 中，$O$ 是外心，$\angle BAC$ 的平分线与 $BC$ 交于点 $D$，$E$ 与 $D$ 关于 $BC$ 的中点对称。过 $D,E$ 作垂直于 $BC$ 的直线，分别与直线 $AO,AD$ 交于点 $X,Y$。求证：$B,X,C,Y$ 四点共圆。

解答待添加。

第 173 页：万能内心系例一

在 $\triangle ABC$ 中，$I$ 为内心，$D$ 为 $BC$ 边上的内切圆切点，$M,N$ 分别为 $BC,CI$ 的中点。$S$ 为 $\triangle ABC$ 外接圆上一点，满足 $\angle ASI=90^\circ$。设 $DI$ 与 $AM$ 交于点 $E$，$IM$ 与 $SE$ 交于点 $K$。证明：$D,M,N,K$ 四点共圆。

解答待添加。

第 177 页：2016 CGMO P7

在 $\triangle ABC$ 中，$AB>AC$，$I$ 是内心，$D$ 是 $I$ 在 $BC$ 上的投影。过 $A$ 作 $BC$ 的垂线，与直线 $BI,CI$ 分别交于点 $P,Q$。设 $O$ 是 $\triangle IPQ$ 的外心，延长 $AO$ 与 $BC$ 交于点 $L$。设 $N$ 是直线 $BC$ 与 $\triangle AIL$ 外接圆的第二个交点。求证：

$$\frac{BD}{CD}=\frac{BN}{CN}.$$

解答待添加。

§10 反演

第 186 页：2014 伊朗 TST P8

给定 $\triangle ABC$，$D$ 是边 $BC$ 上的动点，$\triangle ABC,\triangle ABD,\triangle ACD$ 的内心分别为 $I,I_1,I_2$。$\triangle IAI_1,\triangle IAI_2$ 的外接圆分别与 $\triangle ABC$ 的外接圆交于不同于 $A$ 的点 $M,N$。求证：直线 $MN$ 经过一个定点。

解答待添加。

第 186 页：2012 CMO P1

在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A$ 是最大角，$D,E$ 分别为弧 $ABC$ 和弧 $ACB$ 的中点。记过 $A,B$ 且与 $AC$ 相切的圆为 $\Gamma_1$，过 $A,E$ 且与 $AD$ 相切的圆为 $\Gamma_2$。$\Gamma_1,\Gamma_2$ 交于不同于 $A$ 的点 $P$。求证：$AP$ 平分 $\angle BAC$。

解答待添加。

第 186 页：2023 USAMO P6

在 $\triangle ABC$ 中，$I$ 是内心，$I_a,I_b,I_c$ 分别是 $A,B,C$ 所对的旁心。$D$ 是 $\triangle ABC$ 外接圆上一点，且不在直线 $II_a,I_bI_c,BC$ 上。设 $\triangle DII_a,\triangle DI_bI_c$ 的外接圆交于另一点 $F$，直线 $DF,BC$ 交于点 $E$。求证：$\angle BAD=\angle CAE$。

解答待添加。

同页的 2016 CMO P2 已单独收录，见 2016 CMO P2：圆系与极点坐标。

第 187 页：2015 IMO P3

在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AB>AC$。设 $\Gamma$ 为外接圆，$H$ 为垂心，$F$ 为从 $A$ 所作高的垂足，$M$ 为边 $BC$ 的中点。$Q,K$ 为 $\Gamma$ 上的点，使得

$$\angle HQA=\angle HKQ=90^\circ.$$

若 $A,B,C,K,Q$ 互不相同，且按此顺序排列在 $\Gamma$ 上，求证：$\triangle KQH$ 的外接圆与 $\triangle FKM$ 的外接圆相切。

解答待添加。

第 187 页：2022 欧洲杯 P4（原文题号）

$A,B,C,D,E$ 是圆 $\Gamma$ 上的顺次五点，满足 $AB\parallel CE$ 且 $\angle ABC>90^\circ$。设圆 $\omega$ 与 $AD,CE$ 及 $\Gamma$ 相切，且与 $\Gamma$ 的切点在弧 $ED$ 上。过 $A$ 作 $\omega$ 的不同于 $AD$ 的切线，与 $\Gamma$ 交于点 $F$。求证：存在一个圆与 $BD,BF,CE$ 及 $\Gamma$ 相切。

解答待添加。

第 187 页：2023 EGMO P6

$\triangle ABC$ 的外接圆为 $\Omega$，$S_b,S_c$ 分别为弧 $AC,AB$ 的中点，$N_a$ 为弧 $BAC$ 的中点。$I$ 是 $\triangle ABC$ 的内心；$\omega_b$ 是与 $AB$ 相切且在 $S_b$ 处内切于 $\Omega$ 的圆，$\omega_c$ 是与 $AC$ 相切且在 $S_c$ 处内切于 $\Omega$ 的圆。求证：直线 $IN_a$ 和过 $\omega_b,\omega_c$ 交点的直线交于 $\Omega$ 上一点。

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第 187 页：2018 CMO（原文未列题号）

在 $\triangle ABC$ 中，$AB<AC$，$O$ 为外心。过 $O$ 作 $\angle BAC$ 平分线的平行线，与 $BC$ 交于点 $E$；过 $E$ 作 $BC$ 的垂线，与 $\angle BAC$ 的平分线交于点 $D$。延长 $EB$ 至 $K$，使得 $EK=EA$。设 $\triangle ADK$ 的外接圆与 $BC$ 的延长线交于点 $P$，与 $\triangle ABC$ 的外接圆交于点 $Q$。求证：$PQ$ 与 $\triangle ABC$ 的外接圆相切。

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第 192 页：2022 北大夏令营 P7

$\triangle ABC$ 的外接圆为 $\Omega$，外心为 $O$。$D,E$ 是 $\Omega$ 的一对对径点。$\Omega$ 在 $D$ 处的切线分别交直线 $BC,AB$ 于点 $J,L$，在 $E$ 处的切线分别交直线 $BC,AC$ 于点 $K,M$。设 $\triangle ADJ,\triangle AEK$ 的外接圆交于另一点 $F$，$\triangle ADL,\triangle AEM$ 的外接圆交于另一点 $N$。求证：若 $N$ 在直线 $AO$ 上，则 $F$ 也在直线 $AO$ 上。

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第 194 页的 2024 高联二试 A 卷 P2 与第 52 页为同题，已合并在 §3。

第 196 页：2023 东南数学奥林匹克 P11

在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC$ 平分线上的点 $D$ 满足 $\angle DBA=\angle ADC$。点 $E,F$ 在过 $A$ 且垂直于 $AD$ 的直线上，满足 $AF=FC,AE=EB$。设 $\triangle EAC,\triangle FAB$ 外接圆的另一个交点为 $K$，记 $A$ 关于 $BC$ 的对称点为 $A'$。求证：若 $AD=BC$，则 $\triangle AKA'$ 的外心在直线 $AD$ 上。

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第 198 页：2014 ISL G4

$\Gamma$ 是定圆，$A,B,C$ 是 $\Gamma$ 上的三个定点，实数 $\lambda\in(0,1)$。$P$ 是 $\Gamma$ 上不同于 $A,B,C$ 的动点，$M$ 是线段 $CP$ 上的点，满足 $CM=\lambda CP$。设 $\triangle AMP$ 的外接圆与 $\triangle BMC$ 的外接圆的不同于 $M$ 的交点为 $Q$。求证：$Q$ 在一个定圆上运动。

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第 200 页：调和四边形（榕笺原创题）

$ABDC$ 是调和四边形，$D'$ 为 $D$ 关于 $BC$ 的对称点。一个过 $A,D'$ 的圆与 $AB,AC$ 分别交于点 $P,Q$。求证：$\triangle APC,\triangle AQB$ 的外接圆除 $A$ 外的另一个交点在 $BC$ 上。

第 201 页保留了数之谜 @RynW1988 的印刷建系思路。采用 $A(0,0),B(-b,-1),C(c,-1)$ 的坐标框架，令 $AD$ 与 $BC$ 交于 $D_1(d_1,-1)$，由调和四边形的边长平方比例得到

$$\frac{BD_1}{D_1C}=\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{b^2+1}{c^2+1}.$$

将 $AD:y=-d_1^{-1}x$ 与外接圆联立，求出 $D(x_D,y_D)$，便有

$$x_{D'}=x_D,\qquad y_{D'}=-2-y_D.$$

原文提出验证圆 $ACD'$ 与 $BC$ 相切，再用对称性得到另一侧结论。原文注明因时间原因未具体计算，以上为思路而非完整解答。

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第 201–202 页：2024 CTST P17

已知凸五边形 $ABCDE$ 满足 $BD=CD=AC$，且 $B,C,D,E$ 共圆。若

$$\angle BAC+\angle AED=180^\circ,\qquad \angle DCA=\angle BDE,$$

求证：$AB=DE$ 或 $AB=2AE$。

第 201 页为题目标题，第 202 页为完整印刷题干，同页照片中的辅助引理及证明为手写内容，暂不转写。

第 203 页的印刷解析思路署名 @RynW1988，并注明 @Barrett 对探索有贡献：利用圆内接等腰梯形，在 $A$ 位于圆外时将图形看作只有一个自由度；按同一法，用 $A$ 的两个条件验证第三个条件 $AB=2AE$，把问题转为受约束的多项式验证。原文还指出直接图形只有直线和一个圆，反演后仍需计算，宜直接建系。该页没有给出完整计算。

解答待添加。