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10 plus 例题下篇：多圆、密克点与两次反演

来源：《解析版 9+2 with 11》PDF 第 243–270 页。接续反演例题上篇。以下保留印刷题干、分析和解答；手写部分统一留作 “解答待添加”。反演后的点名在各题内沿用原稿约定，不与其他题混用。

10.7 多圆共点​

本节作者：数之谜 @王聪。

选择反演中心时，优先考虑多个圆共同经过、且在作图过程中较早确定的点。对于轨迹题还应优先选择定点；如果反演中心本身随图形移动，像图中的“定圆”未必容易还原为原图的定圆。

第 244–245 页：2014 ISL G4​

定圆 Γ\Gamma 上有三个定点 A,B,CA,B,C，实数 λ∈(0,1)\lambda\in(0,1)。PP 是 Γ\Gamma 上不同于 A,B,CA,B,C 的动点，MM 在线段 CPCP 上，满足 CM=λCPCM=\lambda CP。三角形 AMPAMP 与 BMCBMC 的外接圆交于不同于 MM 的点 QQ。证明：QQ 在一个定圆上运动。

原稿分析。 可先考虑三圆的位似中心关系。反演方法则选择定点 CC：Γ\Gamma 与圆 BMCBMC 都经过 CC，一次可消去两个圆；PP 的像也容易定位。原图中没有额外的三点共线关系需要变成新圆，因此这次反演能有效简化轨迹问题。

解答待添加。 第 245 页后续证明为手写。

第 246 页：2024 十一月谜赛 P1​

给定圆 Ω\Omega 及其弦 ABAB。点 CC 在线段 ABAB 内运动，Ω\Omega 上的点 D,ED,E 满足 ∠ADC=∠BEC=90∘\angle ADC=\angle BEC=90^\circ。直线 AE,BDAE,BD 交于 FF。证明：三角形 DEFDEF 的外接圆与两个定圆相切。

印刷分析与解答。 原稿先引入两个对径点辅助作图。当 CC 趋向 AA 或 BB 时，圆 DEFDEF 相应退化，因此两个候选定圆都应经过 A,BA,B。取 AA 为反演中心，可同时处理相切条件和经过 AA 的圆。

反演后的点沿用原字母，图中的绿线为定直线，CC 在其中一条上运动。通过垂线确定 D,ED,E，再由 A,B,F,DA,B,F,D 共圆和 A,E,FA,E,F 共线确定 FF。点幂关系为

EA⋅EF=EB⋅ED=EC2.EA\cdot EF=EB\cdot ED=EC^2.

按图取 CC 的对称点 C′C'，由该式得到 A,C′,F,CA,C',F,C 共圆；再用圆周角可得 C′C' 在圆 DEFDEF 上，且 BC′BC' 与圆 DEFDEF 相切。C′C' 在一条定直线上运动，这条线就是一个定圆的反演像。再利用图中固定的灰色角，得到圆心在定直线上运动，从而确定另一条固定切线，还原后得到另一个定圆。

第246页反演后的辅助图

本段是原稿的图示解答，C′C' 的位置与角标按附图读取。

第 247 页：2023 美国国家队选拔 P2​

锐角三角形 ABCABC 中，MM 是 BCBC 的中点，BE,CFBE,CF 是高。设 KK 为三角形 BME,CMFBME,CMF 的外接圆两条外公切线的交点。若 KK 在三角形 ABCABC 的外接圆上，证明：AK⊥BCAK\perp BC。

原稿分析。 两圆共同经过 MM，MM 又属于垂心反演中的自然中心；KK 是两圆的外位似中心，因此以 MM 为中心反演后，可以借助两条像直线研究 KK。

解答待添加。

第 248 页：cjy 完全四边形讲义​

四边形 ABCDABCD 内接于圆 OO，AC∩BD=PAC\cap BD=P，AB∩CD=QAB\cap CD=Q。直线 ADAD 与圆 QBCQBC 交于 E,FE,F，且 AA 在线段 EDED 上。设 FP∩EO=XFP\cap EO=X。证明：XX 在圆 OADOAD 上。

印刷解答。 将对称的构造一并补出，设对应点为 YY，目标改写为 E,P,YE,P,Y、F,P,XF,P,X、O,X,EO,X,E、O,Y,FO,Y,F 四组共线。原稿先以 OO 为中心反演，利用 Brocard 构型的关系，使圆 OADOAD 对应直线 ADAD，圆 PBCPBC 对应圆 QBCQBC。再以 PP 为中心、−PA⋅PC-PA\cdot PC 为有向反演幂，直线 ADAD 对应圆 PBCPBC，圆 QBCQBC 对应圆 ADOADO，得到所需的交点对应。

第248页完全四边形辅助图

第 249 页：2015 伊朗 TST P6​

四边形 ABCDABCD 既有外接圆又有内切圆，OO 为外心。延长 DA,CBDA,CB 交于 EE，延长 BA,CDBA,CD 交于 FF，AC∩BD=SAC\cap BD=S。点 E′,F′E',F' 分别在边 AB,ADAB,AD 上，满足

∠BEE′=∠AEE′,∠AFF′=∠DFF′.\angle BEE'=\angle AEE',\qquad \angle AFF'=\angle DFF'.

点 XX 在 OE′OE' 上，点 YY 在 OF′OF' 上，且

XAXB=EAEB,YAYD=FAFD.\frac{XA}{XB}=\frac{EA}{EB},\qquad \frac{YA}{YD}=\frac{FA}{FD}.

设 MM 是外接圆弧 BADBAD 的中点。证明：以 OSOS 为直径的圆、圆 OAMOAM 和圆 OXYOXY 共轴。

原稿提示。 多个圆经过 OO，可取 OO 为反演中心。

解答待添加。

第 250 页：2025 新年谜赛 P2​

三角形 ABCABC 的内心为 II，内切圆为 ω\omega，DD 是 ω\omega 在 BCBC 上的切点，TT 是 AA 伪内切圆与三角形 ABCABC 外接圆的切点。以 TT 为圆心、TITI 为半径的圆与 ω\omega 交于 X,YX,Y。证明：圆 AXYAXY 与圆 ABCABC、圆 BTDBTD、圆 CTDCTD 均相切。

原稿分析。 虽然经过 II 的圆不多，但以 TT 为圆心的圆是本题关键圆，又涉及相切，值得选择 II 为中心反演。像图转为垂心构型，并出现中心对称关系。

解答待添加。

第 251 页：2019 ELMO 预选 P14​

锐角三角形 ABCABC 的垂心为 HH，BE,CFBE,CF 为高。A′A' 是 AA 关于 BCBC 的对称点。圆 AEA′AEA'、圆 AFA′AFA' 分别与三角形 ABCABC 的外接圆再交于 P,QP,Q。设 QP∩BC=RQP\cap BC=R。证明：HR∥EFHR\parallel EF。

原稿分析。 以 AA 为中心虽然能消圆，但 P,QP,Q 的像仍不易处理。改以 BB 为反演中心，能够简化直线 PQPQ 的刻画。这是打破原图对称性来选择反演中心的例子。

解答待添加。

10.8 密克点反演​

原稿第 252–256 页为 @猫小肚子VIP 的手写讲解和例题。本次不识别其中题干与证明，保留 “解答待添加”。

第 257–259 页：2023 百年老校数学竞赛 P2​

平面上互不相同的七点 A,B,C,D,M,P,QA,B,C,D,M,P,Q 满足：

  1. ABCDABCD 是两组对边都不平行的凸四边形；
  2. △MAB∼△MDC\triangle MAB\sim\triangle MDC，且为顺相似；
  3. △PAB∼△PDC\triangle PAB\sim\triangle PDC、△QAD∼△QBC\triangle QAD\sim\triangle QBC，均为逆相似。

证明：AP,BM,CQAP,BM,CQ 三线共点。

沿周界按对应点顺序环绕的方向相同称为顺相似，否则称为逆相似。

原稿印刷评述。 先识别 MM 是完全四边形的密克点，补全完全四边形。关系

MA⋅MC=MB⋅MD=ME⋅MFMA\cdot MC=MB\cdot MD=ME\cdot MF

提示尝试反演。利用相似对应，可以把像点刻画为两条中垂线的交点；再利用密克点与四个外心共圆的性质处理角度。这里 E,FE,F 是补全完全四边形后引入的交点，详细构造与证明原稿为手写。

解答待添加。

10.9 无圆点阵与特殊角关系​

本节作者：数之谜 @wyccc；第 263 页彭赛列点示例署名 @科学之杨。

第 260 页：2009 中国国家集训队 P10​

D,ED,E 分别在三角形 ABCABC 的边 AB,BCAB,BC 上，PP 在三角形内部，满足 PE=PCPE=PC 且 △DEP∼△PCA\triangle DEP\sim\triangle PCA。证明：BPBP 与圆 PADPAD 相切。

印刷解答。 先把 BB 重定义为圆 PADPAD 在 PP 处切线与 ADAD 的交点，转而证明 B,E,CB,E,C 共线。以 PP 为中心反演，以下仍沿用原字母。原来的相似变为

△EDP∼△PAC.\triangle EDP\sim\triangle PAC.

结合 PE=PCPE=PC，得到 △EDP≅△PAC\triangle EDP\cong\triangle PAC。相切条件变成 PB∥ADPB\parallel AD，故 PBDAPBDA 为等腰梯形，从而

DE=AP=DB,AC=DP=AB.DE=AP=DB,\qquad AC=DP=AB.

利用两个等腰三角形的角关系，可证 P,B,E,CP,B,E,C 共圆，反演还原即得 B,E,CB,E,C 共线。

原稿这里写作“PE=PFPE=PF”，但本题没有 FF；按题设与全等对应改为 PE=PCPE=PC。

第 261 页：2018 IMO P6​

凸四边形 ABCDABCD 满足 AB⋅CD=BC⋅DAAB\cdot CD=BC\cdot DA。内点 XX 满足

∠XAB=∠XCD,∠XBC=∠XDA.\angle XAB=\angle XCD,\qquad \angle XBC=\angle XDA.

证明：∠BXA+∠DXC=180∘\angle BXA+\angle DXC=180^\circ。

原稿印刷解答。 以 XX 为中心、11 为半径作反演，得到 A∗,B∗,C∗,D∗A^*,B^*,C^*,D^*。由角条件，

∠XB∗A∗=∠XD∗C∗,∠XC∗B∗=∠XA∗D∗.\angle XB^*A^*=\angle XD^*C^*,\qquad \angle XC^*B^*=\angle XA^*D^*.

又

∠DAB=∠XAB+∠XAD=∠XD∗C∗+∠XD∗A∗=∠C∗D∗A∗.\begin{aligned} \angle DAB &=\angle XAB+\angle XAD\\ &=\angle XD^*C^*+\angle XD^*A^* =\angle C^*D^*A^*. \end{aligned}

同理，D∗A∗B∗C∗D^*A^*B^*C^* 与 ABCDABCD 的对应内角相等。由

A∗B∗=ABXA⋅XBA^*B^*=\frac{AB}{XA\cdot XB}

及其他三边的类似表达式，得到

A∗B∗⋅C∗D∗=B∗C∗⋅D∗A∗.A^*B^*\cdot C^*D^*=B^*C^*\cdot D^*A^*.

原稿应用引理，推出 D∗A∗B∗C∗∼ABCDD^*A^*B^*C^*\sim ABCD。把像四边形中的 XX 经该相似对应回原四边形，记为 X′X'，有

∠XAB=∠X′AD,∠XBA=∠X′BC,\angle XAB=\angle X'AD,\qquad \angle XBA=\angle X'BC, ∠XCB=∠X′CD,∠XDA=∠X′DC.\angle XCB=\angle X'CD,\qquad \angle XDA=\angle X'DC.

于是 X,X′X,X' 是四边形内部的一对等角共轭点，原稿据此引用结论

∠AXB+∠CXD=180∘.\angle AXB+\angle CXD=180^\circ.

本页保留原印刷证明的引用结构；截图从“回到原题”开始，前置引理及最后所引等角共轭结论的证明没有包含在该页中。

第 262 页：2008 ISL G3​

凸四边形 ABCDABCD 中，过 A,DA,D 的一个圆与过 B,CB,C 的一个圆交于 P,QP,Q。线段 PQPQ 上存在一点 EE，满足 ∠PAE=∠QDE\angle PAE=\angle QDE、∠PBE=∠QCE\angle PBE=\angle QCE。证明：A,B,C,DA,B,C,D 四点共圆。

原稿评述。 反演后出现等腰梯形，使原图中不明显的对称性显现。

解答待添加。

第 263 页：彭赛列点与三条劈线​

沿用彭赛列点构型和原稿点名。设 AP∩BC=XAP\cap BC=X、BP∩AC=YBP\cap AC=Y、CP∩AB=ZCP\cap AB=Z，TT 为该构型的彭赛列点。证明：X,Y,Z,TX,Y,Z,T 共圆。

印刷证明。 设 PP 在 BC,CA,ABBC,CA,AB 上的投影为 D,E,FD,E,F，BP,CPBP,CP 的中点为 M,NM,N。以 PP 为中心反演，像点加撇号。由圆 PDXPDX 和圆 AEPFAEPF 的圆心均在 APAP 上，得到

D′X′∥E′F′.D'X'\parallel E'F'.

并且 A′,X′A',X' 分别是 PP 到 E′F′,D′X′E'F',D'X' 的垂足，另两组关系循环成立。设

U=E′Y′∩F′Z′,V=D′X′∩F′Z′,W=D′X′∩E′Y′.U=E'Y'\cap F'Z',\quad V=D'X'\cap F'Z',\quad W=D'X'\cap E'Y'.

则 D′E′F′D'E'F' 是三角形 UVWUVW 的中点三角形。设 OO 为三角形 UVWUVW 的外心，它也是三角形 D′E′F′D'E'F' 的垂心。

由于 B′B' 是 PP 在 D′F′D'F' 上的投影，且 M′P=2B′PM'P=2B'P，P,M′P,M' 关于 D′F′D'F' 对称；类似地，P,N′P,N' 关于 D′E′D'E' 对称。原稿借助逆斯坦纳点性质，确定 T′T' 是 OPOP 关于三角形 D′E′F′D'E'F' 的逆斯坦纳点；PP 关于三角形 UVWUVW 的垂足圆 X′Y′Z′X'Y'Z' 经过 T′T'，还原即得 X,Y,Z,TX,Y,Z,T 共圆。

彭赛列点的坐标表示见坐标附录。本段沿用原稿所引的逆斯坦纳点性质，原页未展开这些前置性质的证明。

第 263 页：2024 中国国家集训队 P17​

凸五边形 ABCDEABCDE 满足 BD=CD=ACBD=CD=AC，且 B,C,D,EB,C,D,E 共圆。若

∠BAC+∠AED=180∘,∠DCA=∠BDE,\angle BAC+\angle AED=180^\circ,\qquad \angle DCA=\angle BDE,

证明：AB=DEAB=DE 或 AB=2AEAB=2AE。

此题在第 201–203 页也出现，见教材补充题目。原稿指向 §10.2 的解答，手写部分仍为 “解答待添加”。

10.10 两次反演​

第 264 页：2019 ISL G6​

锐角三角形 ABCABC 的内心为 II，内切圆与 BC,CA,ABBC,CA,AB 分别切于 D,E,FD,E,F。直线 EFEF 与三角形 ABCABC 的外接圆交于 P,QP,Q。证明：

∠APD+∠AQD=∠PIQ.\angle APD+\angle AQD=\angle PIQ.

原稿使用内切圆反演与以切点 DD 为中心的反演复合；具体证明为手写。

解答待添加。

第 265–266 页：2023 CSMO P3​

非等腰锐角三角形 ABCABC 的内心为 II，内切圆 ω\omega 与 BC,CA,ABBC,CA,AB 分别切于 D,E,FD,E,F。ADAD 与 ω\omega 再交于 JJ；圆 BCJBCJ 与 ω\omega 再交于 KK；圆 BFKBFK、圆 CEKCEK 再交于 LL。设 MM 是三角形 ABCABC 外接圆弧 BACBAC 的中点。证明：M,I,LM,I,L 三点共线。

解答待添加。 第 266 页证明为手写。

第 267 页：2015 ISL G5​

三角形 ABCABC 中，AC≠BCAC\ne BC。边 AB,AC,BCAB,AC,BC 的中点分别为 D,F,GD,F,G。圆 Γ\Gamma 经过 CC，且与 ABAB 切于 DD，与线段 AF,BGAF,BG 分别交于 H,IH,I。点 H′H' 与 HH 关于 FF 对称，点 I′I' 与 II 关于 GG 对称。直线 H′I′H'I' 与 CD,FGCD,FG 分别交于 Q,MQ,M，直线 CMCM 与 Γ\Gamma 的第二个交点为 PP。证明：CQ=QPCQ=QP。

原页下方附有一段使用另一套点名的印刷解答，见两次反演的印刷解答记录。题干与附解的点名对应尚未说明，不能直接拼接成同一证明。

第 268–269 页：2023 北大秋令营 P3​

题干与已有解析法文字解答见2023 北大秋令营 P3。本段另有两次反演的印刷解答，见两次反演的印刷解答记录。

第 269–270 页：原创几何 497​

三角形 ABCABC 的三边 BC,CA,ABBC,CA,AB 中点分别为 D,E,FD,E,F。设 Γa\Gamma_a 为经过 E,FE,F、不经过 AA，且与三角形 ABCABC 外接圆相切的圆。类似定义 Γb,Γc\Gamma_b,\Gamma_c。证明：Γa,Γb,Γc\Gamma_a,\Gamma_b,\Gamma_c 的根心在三角形 ABCABC 的欧拉线上。

阅读原稿两次反演解答。