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GDH 讲义例题：反演后的圆系与定点

题目​

三角形 ABCABC 内接于圆 OO，内心为 II。动点 E,FE,F 在圆 OO 上，且在 AIAI 两侧，满足 ∠AEI+∠AFI=90∘\angle AEI+\angle AFI=90^\circ。圆 AEIAEI、圆 AFIAFI 分别与直线 EFEF 再交于 M,NM,N。证明：圆 AMNAMN 过一个不同于 AA 的定点。

题面来源：《解析版 9+2 with 11》PDF 第 147 页。

解析法解答​

先在反演后的图形中建系​

先以 AA 为中心作伊朗反演，像图中仍以 AA 标记反演中心，其他点的对应为

B⟷C,M⟼M′,N⟼N′,E⟼E′,F⟼F′.B\longleftrightarrow C, \quad M\longmapsto M',\quad N\longmapsto N', \quad E\longmapsto E',\quad F\longmapsto F'.

校对说明：原 nb 开头写作“对 II 作反演”并列出 A↦AA\mapsto A，与后续“圆 ABCABC 变成 BCBC、直线 EFEF 变成过 AA 的圆”矛盾。本页按这些对应关系明确中心为 AA；反演中心本身没有有限像点，不使用 A↦AA\mapsto A。

圆 ABCABC 变为直线 E′F′E'F'，并且

∠F′I′E′=∠F′I′A+∠E′I′A=∠AEI+∠AFI=π2.\angle F'I'E'=\angle F'I'A+\angle E'I'A =\angle AEI+\angle AFI=\frac\pi2.

直线 ENMFENMF 变为圆 AF′M′N′E′AF'M'N'E'，记为圆 O1O_1。

取像图中的坐标

BC:y=0,I′(0,−1),D(0,0),F′(−f,0),E′(e,0),ef=1.BC:y=0,\quad I'(0,-1),\quad D(0,0), \quad F'(-f,0),\quad E'(e,0),\quad ef=1.

设 AD:y=kxAD:y=kx，它与圆 O1O_1 交于 A,KA,K。原解答指出 AD⋅DK=ef=1AD\cdot DK=ef=1；ADAD 的方向固定，所以 KK 固定，AKAK 为固定弦。记其中点为

K1(−m2,−n2).K_1\left(-\frac m2,-\frac n2\right).

把动圆写成一个圆系​

动圆方程记为

f1(x,y)=x2+y2+mx+ny+t(y−kx)−1=0.f_1(x,y)=x^2+y^2+mx+ny+t(y-kx)-1=0.

再表示两条直线：

F′I′:fy+x=−f,E′I′:ey−x=−e.F'I':fy+x=-f, \qquad E'I':ey-x=-e.

它们的乘积是退化二次曲线

g1(x,y)=(fy+x+f)(ey−x+e)=0.g_1(x,y)=(fy+x+f)(ey-x+e)=0.

利用 ef=1ef=1 展开，

g1(x,y)=y2−x2+(e−f)xy+(e−f)x+2y+1.g_1(x,y)=y^2-x^2+(e-f)xy+(e-f)x+2y+1.

从横轴截距读出关键关系​

在动圆方程中令 y=0y=0，

x2+(m−kt)x−1=0.x^2+(m-kt)x-1=0.

两根为 e,−fe,-f，所以

e−f=kt−m.e-f=kt-m.

两个二次方程相加后降为直线​

原解答寻求

y⋅l=f1+λg1,y\cdot l=f_1+\lambda g_1,

使另一个因子 l=0l=0 为 M′N′M'N'。取 λ=1\lambda=1，代入 e−f=kt−me-f=kt-m，得到

y⋅l=2y2+(kt−m)xy+(n+t+2)y.y\cdot l=2y^2+(kt-m)xy+(n+t+2)y.

故

M′N′:2y+(kt−m)x+(n+t+2)=0.M'N':2y+(kt-m)x+(n+t+2)=0.

提取与参数无关的定点​

将直线按动参数 tt 收集：

t(kx+1)+(2y−mx+n+2)=0.t(kx+1)+(2y-mx+n+2)=0.

因此各条直线都经过

x0=−1k,y0=m2x0−n+22=−m2k−n+22.x_0=-\frac1k, \qquad y_0=\frac m2x_0-\frac{n+2}{2} =-\frac m{2k}-\frac{n+2}{2}.

k,m,nk,m,n 为固定量，所以 (x0,y0)(x_0,y_0) 为定点，完成原解答在反演像图中的证明。

Notebook 中保存的校验记录

退化二次曲线的展开、e−f=kt−me-f=kt-m、相加后分解为 y⋅M′N′y\cdot M'N'、定点坐标代入，四项均保存为 True。

来源：problem-GDH-Lecture.nb；按已有文本整理，本次未重新执行 notebook。