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2024 PCH：两种途径求同一交点

题目​

三角形 ABCABC 的内心、外心分别为 I,OI,O。作 ID⊥BCID\perp BC 于 DD，设直线 AOAO 与边 BCBC 相交于 EE。点 TT 满足 AT⊥BCAT\perp BC 且 IT∥BCIT\parallel BC。设 EI∩DT=UEI\cap DT=U，证明：AU=UIAU=UI。

题面来源：《解析版 9+2 with 11》PDF 第 161 页。

解析法解答​

半角参数与内心坐标​

按原解答设

A(0,0),B(−b,−1),C(c,−1),b=t−1−t2,c=s−1−s2.A(0,0),\quad B(-b,-1),\quad C(c,-1), \qquad b=\frac{t^{-1}-t}{2},\quad c=\frac{s^{-1}-s}{2}.

记内心 I(i,j)I(i,j)，则

2i=t−s,2j=−(1+ts).2i=t-s,\qquad 2j=-(1+ts).

原解答给出外心与直线 AEAE 的斜率：

O(ij1+2j,j2−i22(1+2j)),kAE=j2−i22ij.O\left(\frac{ij}{1+2j},\frac{j^2-i^2}{2(1+2j)}\right), \qquad k_{AE}=\frac{j^2-i^2}{2ij}.

由 E∈BCE\in BC，

E(2iji2−j2,−1).E\left(\frac{2ij}{i^2-j^2},-1\right).

另有 D(i,−1),T(0,j)D(i,-1),T(0,j)，因此

DT:iy+(j+1)x=ij.DT:iy+(j+1)x=ij.

从中垂线与 DTDT 求交点​

原解答将目标转为：AIAI 的中垂线、DTDT、IEIE 三线共点。记中垂线为 MUMU，其方程为

MU:2jy+2ix=i2+j2.MU:2jy+2ix=i^2+j^2.

设 U=DT∩MUU=DT\cap MU，用 DTDT 表示

U(u,j−j+1iu).U\left(u,j-\frac{j+1}{i}u\right).

代入中垂线，

2j2−2j(j+1)iu+2iu=i2+j2.2j^2-\frac{2j(j+1)}i u+2iu=i^2+j^2.

解得

u=12i2−j2i−j(j+1)/i.(1)u=\frac12\frac{i^2-j^2}{i-j(j+1)/i}.\tag{1}

从 U,I,EU,I,E 共线求同一横坐标​

条件 U∈IEU\in IE 可写成

−(1+j)u/iu−i=−1−j2ij/(i2−j2)−i.\frac{-(1+j)u/i}{u-i} =\frac{-1-j}{2ij/(i^2-j^2)-i}.

原解答逐步整理为

uu−i=12j/(i2−j2)−1,\frac{u}{u-i}=\frac1{2j/(i^2-j^2)-1}, 1−iu=2ji2−j2−1,1-\frac iu=\frac{2j}{i^2-j^2}-1, u=i2−2j/(i2−j2)=12i2−j2i−j(j+1)/i.u=\frac{i}{2-2j/(i^2-j^2)} =\frac12\frac{i^2-j^2}{i-j(j+1)/i}.

这与式 (1)(1) 完全相同，所以 U∈IEU\in IE，三线共点。

Notebook 中保存的校验记录

从 MU∩DTMU\cap DT 求得的 uu、从斜率相等求得的 uu，以及两者相等，三项均保存为 True。

来源：problem-20240429-PCH.nb；按已有文本整理，本次未重新执行 notebook。