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2024 USAMO P5：两组共点行列式的共同因子

题目​

点 DD 在锐角三角形 ABCABC 内，满足 ∠DAC=∠ACB\angle DAC=\angle ACB 且 ∠BDC=90∘+∠BAC\angle BDC=90^\circ+\angle BAC。点 EE 在射线 BDBD 上，满足 AE=ECAE=EC。设 MM 是 BCBC 的中点，求证：ABAB 与三角形 BEMBEM 的外接圆相切。

题面来源：《解析版 9+2 with 11》PDF 第 16 页。

解析法解答​

本页合并两个 notebook 的坐标与解法线索，公式的参数归一化采用主文件中的 Input 和已保存因式分解结果。

选择坐标与直线参数​

设

B(0,0),A(2b,2),C(2b+2c,0),B(0,0),\quad A(2b,2),\quad C(2b+2c,0), M(b+c,0),N(2b+c,1)=A+C2.M(b+c,0),\quad N\left(2b+c,1\right)=\frac{A+C}{2}.

主文件定义

f=c2+2bc−1.f=c^2+2bc-1.

由 F=AD∩BCF=AD\cap BC，原解答中的直线 NFNF 为

NF:y−cx=−f,F(fc,0).NF:y-cx=-f,\qquad F\left(\frac fc,0\right).

因此

AD:(1−c2)y−2cx=−2f.AD:(1-c^2)y-2cx=-2f.

令 t=tan⁡∠ACD>0t=\tan\angle ACD>0。原题的角关系给出 tan⁡∠ABD=1/t\tan\angle ABD=1/t，相应斜率为

u=1/b−1/t1+1/(bt)=t−bbt+1,v=1/c−t1+t/c=1−ctc+t.u=\frac{1/b-1/t}{1+1/(bt)}=\frac{t-b}{bt+1}, \qquad v=\frac{1/c-t}{1+t/c}=\frac{1-ct}{c+t}.

所以

BD:y=ux,CD:y+vx=2(b+c)v.BD:y=ux,\qquad CD:y+vx=2(b+c)v.

已知共点条件对应第一个行列式​

按 Ax+By+C=0\mathsf A x+\mathsf B y+\mathsf C=0 记录直线系数。Notebook 输入中的 AD,BD,CDAD,BD,CD 系数行分别为

(2c,−(1−c2),−2f),(t−b,−(bt+1),0),(1−ct,c+t,−2(b+c)(1−ct)).(2c,-(1-c^2),-2f), \quad(t-b,-(bt+1),0), \quad(1-ct,c+t,-2(b+c)(1-ct)).

它们共点，故

g=∣2c−(1−c2)−2ft−b−(bt+1)01−ctc+t−2(b+c)(1−ct)∣=0.g=\begin{vmatrix} 2c&-(1-c^2)&-2f\\ t-b&-(bt+1)&0\\ 1-ct&c+t&-2(b+c)(1-ct) \end{vmatrix}=0.

待证角关系对应第二个行列式​

原解答将结论转为 kEM=−1/tk_{EM}=-1/t，对应直线

ME:x+ty−(b+c)=0.ME:x+ty-(b+c)=0.

而 EE 所在的另外两条直线为 BDBD 与 EFEF，其中 EFEF 与上面的 NFNF 为同一直线：

EF:cx−y−f=0.EF:cx-y-f=0.

因此目标为

h=∣t−b−(bt+1)01t−(b+c)c−1−f∣=0.h=\begin{vmatrix} t-b&-(bt+1)&0\\ 1&t&-(b+c)\\ c&-1&-f \end{vmatrix}=0.

比较已保存的共同因子​

主 notebook 的 Print 保存了

g=2(1+c2)H(t),h=H(t),g=2(1+c^2)H(t),\qquad h=H(t),

其中

H(t)=1+b2−bt−ct+b2ct+bc2t+t2−2bct2−c2t2.\begin{aligned} H(t)={}&1+b^2-bt-ct+b^2ct+bc^2t\\ &+t^2-2bct^2-c^2t^2. \end{aligned}

也就是

H(t)=1+b2−(b+c)(1−bc)t−ft2.H(t)=1+b^2-(b+c)(1-bc)t-ft^2.

两行列式只差非零因子 2(1+c2)2(1+c^2)，所以 g=0g=0 与 h=0h=0 等价，原证明完成。

第二份文本中的二次式思路​

第二份 notebook 将 NN 记为 GG，仍先用 AD,BD,CDAD,BD,CD 共点确定参数 tt，再把 kEM=−1/tk_{EM}=-1/t 化为另一个二次方程，最后尝试比较两方程的系数比例。其方法与上面的共同因子比较一致。

但副本把常数记为 2f∗=1−2bc−c22f_*=1-2bc-c^2，即 f∗=−f/2f_*=-f/2，后文又沿用了不一致的倍数和符号，保存的相关系数比较也未化为 True。因此本页不混用两套 ff，以主文件已保存的 g=2(1+c2)hg=2(1+c^2)h 呈现完整解答。

来源：problem-2024-USAMO-P5.nb；problem-2024-USAMO-P5 2.nb；按已有文本整理，本次未重新执行 notebook。