2023 NHL P1：圆系降参和共圆行列式

题目

$\Omega$ 是以 $AB$ 为直径的固定半圆弧，$\omega$ 是经过 $A$ 及 $\Omega$ 上另一个定点 $T$ 的定圆，且 $\omega$ 的圆心位于三角形 $ABT$ 内。$P$ 是 $\Omega$ 的弧 $TB$（不含端点）上的动点；$C,D$ 是 $\omega$ 上的动点，满足 $C$ 在线段 $AP$ 上，$C,D$ 位于直线 $AB$ 异侧，且 $CD\perp AB$。记三角形 $CDP$ 的外心为 $K$。求证：

1. $K$ 在三角形 $TDP$ 的外接圆上；
2. $K$ 为定点。

题面来源：《解析版 9+2 with 11》PDF 第 70 页。

解析法解答

用过原点的直线表示点

令 $\Omega=\odot O$、$\omega=\odot O_1$、圆 $CDP$ 的圆心为 $K$。取

$$A(0,0),\quad B(2,0),\quad \odot O:x^2+y^2=2x.$$

由 $AT:y=kx$、$AP:y=lx$，

$$T(t,kt),\quad t=\frac2{1+k^2}, \qquad P(p,lp),\quad p=\frac2{1+l^2}.$$

圆 $O_1=ACD$ 可写为

$$x^2+y^2-2x+\lambda(y-kx)=0.$$

将 $AP$ 代入，取其非原点交点

$$C(c,lc),\qquad c=\frac{\lambda(k-l)+2}{1+l^2}.$$

圆系的参数自动降为常数

圆 $K=CDP$ 与圆 $O_1$ 的公共弦为 $CD:x=c$，可设

$$\odot K:\odot O_1-\mu(x-c)=0.$$

即

$$x^2+y^2-(2+\lambda k+\mu)x+\lambda y+\mu c=0.$$

代入 $P$，利用 $p(1+l^2)=2$，原解答得到

$$\mu=\frac{\lambda p(l-k)}{\lambda(l-k)/(1+l^2)}=2.$$

故

$$\odot K:x^2+y^2-(4+\lambda k)x+\lambda y+2c=0,$$

其圆心

$$K\left(\frac{\lambda k}{2}+2,-\frac\lambda2\right)$$

与动点参数 $l$ 无关。

用行列式验证 $T,P,D,K$ 共圆

因为 $D\in\{x=c\}\cap\odot O_1$，

$$D(c,-\lambda-lc).$$

记

$$D_2=x_D^2+y_D^2=\lambda\bigl(\lambda+c(k+l)\bigr)+2c,$$ $$K_2=x_K^2+y_K^2=\frac{\lambda^2(k^2+1)}4+2\lambda k+4.$$

共圆条件为

$$\begin{vmatrix} D_2&c&-\lambda-lc&1\\ K_2&\lambda k/2+2&-\lambda/2&1\\ 2t&t&kt&1\\ 2p&p&lp&1 \end{vmatrix}=0.$$

第三、四行分别除以 $t,p$，第一列再减去第二列的两倍，得到

$$\begin{vmatrix} D_2-2c&c&-\lambda-lc&1\\ K_2-\lambda k-4&\lambda k/2+2&-\lambda/2&1\\ 0&1&k&t^{-1}\\ 0&1&l&p^{-1} \end{vmatrix}=0.$$

记

$$t_1=\lambda\bigl(\lambda+c(k+l)\bigr), \qquad t_2=\lambda\left(\frac{\lambda(k^2+1)}4+k\right),$$ $$A_1=\begin{vmatrix} \lambda k/2+2&-\lambda/2&1\\ 1&k&t^{-1}\\1&l&p^{-1} \end{vmatrix}, \qquad A_2=\begin{vmatrix} c&-\lambda-lc&1\\1&k&t^{-1}\\1&l&p^{-1} \end{vmatrix}.$$

沿第一列展开，只需 $t_1A_1-t_2A_2=0$。原解答略去最后的逐项展开，notebook 保存了这一恒等式为 True，完成共圆证明。

来源：problem-2023-NHL-P1 .nb；按已有文本整理，本次未重新执行 notebook。