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2021 CGMO P2：圆系与两根的对称式

题目​

原 notebook 未附完整题干，以下保留其记录的构造条件与计算。完整题干待添加。

解析法解答​

证明整理自数之谜 @DSK。

选圆与直线的公共参数​

取 A(0,0),D(0,1)A(0,0),D(0,1)。圆 OO 经过 A,DA,D，故设

⊙O:x2+y2−dx−y=0,O(d2,12).\odot O:x^2+y^2-dx-y=0, \qquad O\left(\frac d2,\frac12\right).

kOD=−1/dk_{OD}=-1/d，而 BC⊥ODBC\perp OD，可设

BC:y=dx+b.BC:y=dx+b.

把圆方程与弦方程相加，得到

⊙Γ:(x2+y2−dx−y)+(dx+b−y)=0⟺x2+y2−2y+b=0.\begin{aligned} \odot\Gamma: &(x^2+y^2-dx-y)+(dx+b-y)=0\\ &\Longleftrightarrow x^2+y^2-2y+b=0. \end{aligned}

圆 Γ\Gamma 的圆心为 D(0,1)D(0,1)，并经过 B,CB,C。

原解答通过角关系说明 I,JI,J 也在该圆上：

∠IBD=∠IBC+∠DBC=∠IBA+∠DAC=∠IBA+∠BAI=∠BID,\angle IBD=\angle IBC+\angle DBC =\angle IBA+\angle DAC =\angle IBA+\angle BAI=\angle BID,

从而 DB=DIDB=DI。又有

∠JBC=180∘−∠ABC2=∠BAC+∠ACB2=∠IAC+∠ICA=∠JIC.\angle JBC=\frac{180^\circ-\angle ABC}{2} =\frac{\angle BAC+\angle ACB}{2} =\angle IAC+\angle ICA=\angle JIC.

用韦达关系表示 I,JI,J​

将 IJ:x=0IJ:x=0 代入圆 Γ\Gamma，

y2−2y+b=0.y^2-2y+b=0.

两根为 yI,yJy_I,y_J，因此

yI+yJ=2,yIyJ=b,y_I+y_J=2,\qquad y_Iy_J=b, yI2−2yI+b=0,yJ2−2yJ+b=0.y_I^2-2y_I+b=0,\qquad y_J^2-2y_J+b=0.

求 X,YX,Y，但只计算其中点​

由 AX⊥IXAX\perp IX 以及 X∈⊙OX\in\odot O，

xX2+yX(yX−yI)=0,xX2+yX2−dxX−yX=0.x_X^2+y_X(y_X-y_I)=0, \qquad x_X^2+y_X^2-dx_X-y_X=0.

原解答给出

xX=dyI(yI−1)d2+(yI−1)2,yX=d2yId2+(yI−1)2.x_X=\frac{dy_I(y_I-1)}{d^2+(y_I-1)^2}, \qquad y_X=\frac{d^2y_I}{d^2+(y_I-1)^2}.

同理

xY=dyJ(yJ−1)d2+(yJ−1)2,yY=d2yJd2+(yJ−1)2.x_Y=\frac{dy_J(y_J-1)}{d^2+(y_J-1)^2}, \qquad y_Y=\frac{d^2y_J}{d^2+(y_J-1)^2}.

注意两处分母实际上相同：

(yI−1)2=(yJ−1)2=1−b.(y_I-1)^2=(y_J-1)^2=1-b.

所以中点 MM 的横坐标为

xM=d(yI(yI−1)+yJ(yJ−1))2(d2+1−b)=d((yI+yJ)2−(yI+yJ)−2yIyJ)2(d2+1−b)=d(1−b)d2+1−b,\begin{aligned} x_M &=\frac{d\bigl(y_I(y_I-1)+y_J(y_J-1)\bigr)}{2(d^2+1-b)}\\ &=\frac{d\bigl((y_I+y_J)^2-(y_I+y_J)-2y_Iy_J\bigr)}{2(d^2+1-b)}\\ &=\frac{d(1-b)}{d^2+1-b}, \end{aligned}

而

yM=d2(yI+yJ)2(d2+1−b)=d2d2+1−b.y_M=\frac{d^2(y_I+y_J)}{2(d^2+1-b)} =\frac{d^2}{d^2+1-b}.

验证中点在 AKAK 上​

由 KI=KJKI=KJ，KK 在 IJIJ 的中垂线 y=1y=1 上。再与 BC:y=dx+bBC:y=dx+b 联立，

K(1−bd,1),AK:x=1−bdy.K\left(\frac{1-b}{d},1\right), \qquad AK:x=\frac{1-b}{d}y.

中点的坐标满足

xM=1−bdyM.x_M=\frac{1-b}{d}y_M.

因此 M∈AKM\in AK，即 AKAK 平分线段 XYXY。

来源：problem-2021-CGMO-P2.nb；按已有文本整理，本次未重新执行 notebook。