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2017 ELMO P2：垂心坐标与平行关系

题目​

原 notebook 未附完整题干，以下保留其记录的构造条件与计算。完整题干待添加。

解析法解答​

本题 notebook 没有单独的文字证明，以下按已保存的分节、输入步骤和输出公式整理。

已知点的坐标​

设

A(0,0),B(−b,−1),C(c,−1),H(0,bc−1),A(0,0),\quad B(-b,-1),\quad C(c,-1),\quad H(0,bc-1), O1(−b+c2,−1+bc2),M(−b+c2,−1).O_1\left(\frac{-b+c}{2},-\frac{1+bc}{2}\right), \qquad M\left(\frac{-b+c}{2},-1\right).

用两条过原点的直线表示 P,QP,Q：

P(−p,−kp),Q(−q,−jq).P(-p,-kp),\qquad Q(-q,-jq).

圆上条件消去 p,qp,q​

原 notebook 使用以 AHAH 为直径的圆上条件

(P−A)⋅(P−H)=0,(Q−A)⋅(Q−H)=0.(P-A)\cdot(P-H)=0, \qquad (Q-A)\cdot(Q-H)=0.

排除 p=0,q=0p=0,q=0 后，已保存的解为

p=k−bck1+k2,q=j−bcj1+j2.p=\frac{k-bck}{1+k^2}, \qquad q=\frac{j-bcj}{1+j^2}.

将 P,M,QP,M,Q 共线转为参数关系​

写共线行列式

∣xPyP1xMyM1xQyQ1∣=0.\begin{vmatrix} x_P&y_P&1\\ x_M&y_M&1\\ x_Q&y_Q&1 \end{vmatrix}=0.

代入 p,qp,q 的表达式，文件保存了两组解：

j=k,j=2−bk+ckb−c+2bck.j=k, \qquad j=\frac{2-bk+ck}{b-c+2bck}.

第一组使两点的参数重合；原文件保留两组规则，未在最后一步单独记录非退化分支的输出。

求三角形 APQAPQ 的垂心​

记垂心为 R(xR,yR)R(x_R,y_R)，使用两条高线条件

(R−P)⋅(Q−A)=0,(R−Q)⋅(P−A)=0.(R-P)\cdot(Q-A)=0, \qquad (R-Q)\cdot(P-A)=0.

已保存的坐标解为

xR=−−kp−jk2p+jq+j2kqj−k,x_R=-\frac{-kp-jk^2p+jq+j^2kq}{j-k}, yR=−p+jkp−q−jkqj−k.y_R=-\frac{p+jkp-q-jkq}{j-k}.

接着取 O2=R/2O_2=R/2。原文件准备通过交叉相乘验证

(yQ−yP)(xO1−xO2)−(yO1−yO2)(xQ−xP)=0,(y_Q-y_P)(x_{O_1}-x_{O_2}) -(y_{O_1}-y_{O_2})(x_Q-x_P)=0,

即比较 PQPQ 与 O1O2O_1O_2 的方向。

Notebook 保存了代入 p,q,jp,q,j 并化简上述式子的输入，但没有保存最终输出。最后一步的完整文字解答待添加。

解答待添加。

来源：problem-2017-ELMO-P2.nb；按已有文本整理，本次未重新执行 notebook。