1999 IMO P5：圆系、斜率与相切

题目

圆 $O_1,O_2$ 分别与圆 $O$ 内切于 $M,N$，且圆 $O_1$ 经过 $O_2$。圆 $O_1,O_2$ 公共弦所在直线与圆 $O$ 交于 $A,B$；$MA,MB$ 分别与圆 $O_1$ 再交于 $C,D$。求证：直线 $CD$ 与圆 $O_2$ 相切。

题面来源：《解析版 9+2 with 11》PDF 第 26 页。

解析法解答

证明整理自数之谜 @RynW1988。

表示三个圆

设

$$M(0,0),\quad O_2(-2,0),\quad O_1(-1,k_1).$$

由 $OM:y=-k_1x$、$OO_2:y=k_2(x+2)$，得到

$$O\left(-\frac{2k_2}{k_1+k_2}, \frac{2k_1k_2}{k_1+k_2}\right)=(-d,h), \quad d=\frac{2k_2}{k_1+k_2},\quad h=k_1d.$$

两个过 $M$ 的圆分别为

$$\odot O_1:x^2+y^2+2x-2k_1y=0,$$ $$\odot O:x^2+y^2+2dx-2hy=0.$$

令

$$\lambda=1-\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}.$$

由圆 $O_2$ 与圆 $O$ 内切，半径关系为

$$r_2=|OM|-|OO_2|=\lambda|OM|,$$

原 Notebook 此处还写了 $r_2=|OM|-|OO_1|$，但右边是圆 $O_1$ 的半径，不能与 $r_2$ 连等，故删去该项。从而

$$\odot O_2:x^2+y^2+4x=\lambda^2(d^2+h^2)-4.$$

用圆系消去交点坐标

两圆相减得到公共弦直线

$$AB:x+k_1y=\frac{\lambda^2(d^2+h^2)}2-2=2t.$$

设 $MA,MB$ 的斜率为 $m_1,m_2$。利用 $AB$ 的方程将圆 $O$ 齐次化：

$$x^2+y^2+\frac{2dx(x+k_1y)}{2t} -\frac{2hy(x+k_1y)}{2t}=0.$$

代入 $y=mx$ 后，得到

$$(2t-2hk_1)m^2+2(dk_1-h)m+2(d+t)=0.$$

因为 $dk_1=h$，一次项消失：

$$m^2=\frac{d+t}{hk_1-t},\qquad m_1=-m_2.$$

将两条直线与圆 $O_1$ 联立。记 $C(c,m_1c)$，则

$$c=\frac{-2+2k_1m_1}{1+m_1^2}.$$

用两根的对称性求得 $k_{CD}=-1/k_1=k_{AB}$，并有

$$CD:(m^2+1)x+k_1(m^2+1)y-2(k_1^2m^2-1)=0.$$

把相切转为点到直线的距离

欲证明 $CD$ 与圆 $O_2$ 相切，只需验证 $O_2$ 到 $CD$ 的距离为 $r_2$。平方后为

$$\frac{(-2m^2-2-2k_1^2m^2+2)^2} {(k_1^2+1)(m^2+1)^2}=\lambda^2(d^2+h^2).$$

原解答将其化为

$$\frac{m^2}{m^2+1}=\frac{\lambda k_2}{k_1+k_2}.$$

代入 $m^2=(d+t)/(hk_1-t)$，左边为

$$\frac{d+t}{d+hk_1} =\frac{d-1}{d+hk_1} +\frac{\lambda^2(d^2+h^2)}{4(d+hk_1)}.$$

这两项分别是

$$\frac{k_2-k_1}{2k_2(1+k_1^2)}, \qquad \frac{\lambda^2k_2}{2(k_1+k_2)}.$$

因此待证等式化为

$$\lambda^2-2\lambda =\frac{k_1^2-k_2^2}{k_2^2(1+k_1^2)}.$$

另一方面，由 $\lambda=1-\sin\alpha/\sin\beta$，

$$\lambda^2-2\lambda =\frac{\sin^2\alpha-\sin^2\beta}{\sin^2\beta}.$$

再用

$$\sin^2\alpha=\frac{k_1^2}{1+k_1^2}, \qquad \sin^2\beta=\frac{k_2^2}{1+k_2^2},$$

即得上述表达式，完成原证明。

Notebook 中保存的校验记录

齐次化所得 $m^2$ 公式、点 $C$ 横坐标的比较保存了 True。距离与最后一项的部分输出仍是符号等式，文件中还保留一条赋值警告；这里未将其写成全部验证通过。

来源：problem-1999-IMO-P5.nb；按已有文本整理，本次未重新执行 notebook。