§8 曲线系瞪参

曲线系用少量参数组织一组满足共同条件的曲线。面对难以直接写出方程的圆、动圆或圆外的二次曲线，可以先构造曲线系，再用几何条件确定参数，或找出与参数无关的性质。

本节整理自《解析版 9+2 with 11》PDF 第 133–154 页；理论及附录在第 133–141 页。原文说明，相关公式参考万宏《数竞与曲线系》，主要解题思想及前三道例题思路来自数之谜 @Tom。

8.1 次数、自由度与记号

本页统一写

$$f(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.$$

在约束独立的一般位置下，二次曲线有五个自由度；归一化的圆 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 有三个自由度。按本页记号，圆要求 $A=C\ne0$、$B=0$；等轴双曲线要求 $A+C=0$，并需排除退化情况。

方程乘以同一个非零常数不改变曲线。因此

$$g=\lambda_1f_1+\lambda_2f_2=0$$

虽然写了两个参数，实际只取决于比例 $\lambda_1:\lambda_2$。保留齐次参数可以减少分式，不能把它误算成两个自由度。

下文 $L_{AB}$ 表示直线 $AB$ 方程左侧的线性多项式，$L_{AB}L_{CD}=0$ 表示两条直线的并。

8.2 从生成条件构造曲线系

若 $f_1,f_2$ 是过四个给定点的两条独立二次曲线，且没有公共分支，一般位置下可用

$$g=\lambda_1f_1+\lambda_2f_2=0$$

表示过这四点的曲线系。常把其中一项选为 $L_{AB}L_{CD}$、$L_{AC}L_{BD}$ 或 $L_{AD}L_{BC}$，保留几何结构。

过不共线三点 $A,B,C$ 的二次曲线可写为

$$g=\lambda_1L_{BC}L_{AC} +\lambda_2L_{AC}L_{AB} +\lambda_3L_{BC}L_{AB}=0.$$

若曲线在 $A$ 处光滑，其切线为

$$\lambda_1L_{AC}+\lambda_3L_{AB}=0.$$

再如，$L_A$ 是 $f$ 在 $A$ 的切线，$BC$ 是弦，则

$$g=\lambda_1f+\lambda_2L_A L_{BC}=0$$

保留过 $B,C$ 和在 $A$ 处相切的条件。把 $L_{BC}$ 换成任意直线 $L$，可表示在 $A$ 具有该切线的曲线族；取 $L=L_A$，得到 $g=\lambda_1f+\lambda_2L_A^2$ 的特殊切触形式。使用时须核对非退化与约束独立性。

8.3 逐项确定参数

教材的“瞪参”流程是：根据生成方式写出曲线系；数清剩余自由度；把“是圆”“过定点”“与轴相交的弦有指定中点”等条件逐项翻译；确定参数并代回核对。

常用特征包括：$x^2,y^2$ 系数相同，$xy$ 项消失，常数项为零，或整个多项式具有指定直线因子。它们通常给出参数的线性关系。若不能直接看出，就用待定系数法求解，并结合“赋值不展开”减少计算。

必须区分两种目标：一个固定但暂未算出的参数，需要求其值；一个真正可变的参数，则应寻找对所有允许取值都成立的性质。

8.4 常用圆系

设 $f=0$ 是定圆、$L=0$ 是定根轴，共轴圆系为

$$f+\lambda L=0.$$

特别地，过定点 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$ 的圆，可从以 $PQ$ 为直径的圆出发：

$$f=(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2),$$ $$L=(x_2-x_1)y-(y_2-y_1)x-x_2y_1+x_1y_2, \qquad f+\lambda L=0.$$

过一点 $P(x_1,y_1)$ 的圆可写为

$$(x-d)^2+(y-e)^2=(x_1-d)^2+(y_1-e)^2.$$

若还指定在 $P$ 的切线 $L=0$，可用

$$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+\lambda L=0.$$

验证动圆与 $x$ 轴交点的和、积或中点时，令 $y=0$ 再用韦达关系；验证过定点时直接代入。圆心与半径不一定需要先求。

8.5 直线系与点幂

若 $f_1=f_2=0$ 交于 $P$，过 $P$ 的直线可写为 $\lambda_1f_1+\lambda_2f_2=0$。若还要经过 $Q\ne P$，便得到

$$f_2(Q)f_1-f_1(Q)f_2=0.$$

这可以省去先求 $P$ 坐标的步骤。教材把 $f(P)$ 称为点 $P$ 对直线 $f=0$ 的“点幂”；只有当法向量已归一化时，它才直接等于有向距离。过 $P$ 且平行于 $f=0$ 的直线为 $f-f(P)=0$。

8.6 附录公式

对开头的二次曲线和 $P(x_1,y_1)$，记

$$L_P(x,y)=Axx_1+\frac B2(xy_1+x_1y)+Cyy_1 +\frac D2(x+x_1)+\frac E2(y+y_1)+F.$$

• 极线为 $L_P=0$；若 $P$ 在曲线上且为光滑点，它就是切线。
• 以 $P$ 为中点的弦所在直线为 $L_P=f(x_1,y_1)$，须满足弦存在的条件。
• 从 $P$ 引出的两条切线若存在，其联合方程为 $L_P^2=f(x_1,y_1)f(x,y)$。
• 曲线中心由 $2Ax+By+D=0$、$Bx+2Cy+E=0$ 联立确定；唯一中心要求 $4AC-B^2\ne0$。

本节的公式均须保留同一套系数及缩放约定，尤其不能对等式两边分别任意归一化。

本章例题位置

原资料例题	PDF 页码
入门彩蛋一：2019 USA TST P1	142
入门彩蛋二：2012 ISL G8	144
例一：2023 北大金秋营 P3	145
例二：GDH 老师讲义	147
例三：2012 CTST P13	149
例四：外心、垂心与 $PQH$ 的外心	151
例五：2016 ISL G5	153

题目的已有文本解答按对应 NB 整理；只含手写的解答保留为“解答待添加”。