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§11.1 坐标转换与等角共轭

本组附录整理自《解析版 9+2 with 11.pdf》新增第 11 章“投笔上云端”。原章作者：数之谜 @RynW1988、@科学之杨；后者提供纯几何巧合点、线的提名及便于计算的重述。本页对应 PDF 第 273–279 页。

原章重点是把巧合点、线的几何描述转成可使用的坐标与方程。以下保留印刷的定义、主要公式及计算步骤；重复的程序输入、展开结果合并为数学表达式。原稿内部有冲突的地方单独作校对说明，不将其当作已经确认的结论。

三个核心思想​

来源：§11.0–11.6，PDF 第 273–277 页。

  1. 把三线坐标、重心坐标转换到 A(0,0)A(0,0) 框架的笛卡尔坐标。
  2. 依次使用基础变量 b,cb,c、外心变量 m,nm,n 和内心变量 i,ji,j，让对称表达式自然简化。
  3. 用程序辅助运算，再通过代换和恒等变形，把结果整理成便于记忆、代入的形式。

原作者说明，章内验证有时基于两种几何重述或性质，不一定从纯几何定义重新证明。其目标是得到可靠、简洁的结论，而不是在比赛现场依赖程序。三对称对象放入 BC:y=−1BC:y=-1 的框架后呈现双对称，仍可能得到简洁结果。

默认标架​

来源：§11.0.3、§11.1.2，PDF 第 273–275 页。

设

A=(0,0),B=(−b,−1),C=(c,−1).A=(0,0),\qquad B=(-b,-1),\qquad C=(c,-1).

外心、垂心、重心分别为

O=(m,n),H=(0,bc−1)=(0,−2n−2),G=(2m3,−23),O=(m,n),\qquad H=(0,bc-1)=(0,-2n-2),\qquad G=\left(\frac{2m}{3},-\frac23\right),

其中

2m=c−b,2n=−(1+bc).2m=c-b,\qquad 2n=-(1+bc).

常用代换为

b−c=−2m,bc=−(2n+1),b2+c2=4m2−4n−2,b-c=-2m,\qquad bc=-(2n+1),\qquad b^2+c^2=4m^2-4n-2, (1+b2)(1+c2)=4(m2+n2).(1+b^2)(1+c^2)=4(m^2+n^2).

外接圆方程为

⊙O:x2+y2=2mx+2ny.\odot O:\quad x^2+y^2=2mx+2ny.

涉及内心或角平分线时，引入

t=tan⁡B2,s=tan⁡C2,b=t−1−t2,c=s−1−s2.t=\tan\frac B2,\qquad s=\tan\frac C2, \qquad b=\frac{t^{-1}-t}{2},\qquad c=\frac{s^{-1}-s}{2}.

内心 I=(i,j)I=(i,j) 满足

i=t−s2,j=−1+ts2,i=\frac{t-s}{2},\qquad j=-\frac{1+ts}{2}, m=ij1+2j,n=j2−i22(1+2j).\boxed{m=\frac{ij}{1+2j},\qquad n=\frac{j^2-i^2}{2(1+2j)}.}

本组有理式均在对应分母非零、所定义几何对象存在的情形使用；退化情形应回到原始直线、圆方程处理。

三线坐标转换​

来源：§11.1.1.1，PDF 第 274 页。

设 PP 关于 △ABC\triangle ABC 的三线坐标为 (h:u:v)(h:u:v)，依次对应边 BC,CA,ABBC,CA,AB。记

S=(b+c)h+1+c2 u+1+b2 v.S=(b+c)h+\sqrt{1+c^2}\,u+\sqrt{1+b^2}\,v.

那么 P=(x,y)P=(x,y) 的笛卡尔坐标为

x=−b1+c2 u+c1+b2 vS,y=−1+c2 u+1+b2 vS.\boxed{ x=\frac{-b\sqrt{1+c^2}\,u+c\sqrt{1+b^2}\,v}{S}, \qquad y=-\frac{\sqrt{1+c^2}\,u+\sqrt{1+b^2}\,v}{S}. }

原稿通过三条边的有向距离得到这个公式：

BC:y=−1,CA:−x−cy=0,AB:x−by=0,BC:y=-1,\qquad CA:-x-cy=0,\qquad AB:x-by=0, dBC=1+y,dCA=−cy−x1+c2,dAB=x−by1+b2.d_{BC}=1+y,\qquad d_{CA}=\frac{-cy-x}{\sqrt{1+c^2}},\qquad d_{AB}=\frac{x-by}{\sqrt{1+b^2}}.

把距离比设为 h:u:vh:u:v，消去共同尺度，即得到上式。

重心坐标转换​

来源：§11.1.1.2，PDF 第 274 页；原稿感谢 @Tom 的提示。

若 PP 的重心坐标为 (h:u:v)(h:u:v)，则

x=−bu+cvh+u+v,y=−u+vh+u+v.\boxed{x=\frac{-bu+cv}{h+u+v},\qquad y=-\frac{u+v}{h+u+v}.}

同样写成三个分量时，三线坐标与重心坐标含义不同，不能直接混用。

例：核对垂心​

来源：§11.1.1.3–11.1.1.4，PDF 第 275 页。

原稿在重心转换式中代入

h=b+c1−bc,u=1b,v=1c,h=\frac{b+c}{1-bc},\qquad u=\frac1b,\qquad v=\frac1c,

得到

H=(0,bc−1).H=(0,bc-1).

相应三线分量可取

h=(1+b2)(1+c2)1−bc,u=1+b2b,v=1+c2c.h=\frac{\sqrt{(1+b^2)(1+c^2)}}{1-bc},\qquad u=\frac{\sqrt{1+b^2}}b,\qquad v=\frac{\sqrt{1+c^2}}c.

本标架还有

BC=b+c,CA=1+c2,AB=1+b2,BC=b+c,\qquad CA=\sqrt{1+c^2},\qquad AB=\sqrt{1+b^2}, tan⁡B=1b,tan⁡C=1c,tan⁡A=b+c1−bc.\tan B=\frac1b,\qquad\tan C=\frac1c,\qquad \tan A=\frac{b+c}{1-bc}.

具体角度按三角形内角取值，使用反正切时须选择相应分支。

等角共轭点​

来源：§11.8.1，PDF 第 279 页；原稿署名 @cxy_MO。

设 P=(x,y)P=(x,y)，记其关于外接圆的圆幂多项式

F(P)=x2+y2−2mx−2ny.F(P)=x^2+y^2-2mx-2ny.

PP 的等角共轭点 P∗=(x∗,y∗)P^*=(x^*,y^*) 满足

x∗=2(1+y)(my−nx)F(P),y∗=2(1+y)(mx+ny)F(P).\boxed{ x^*=\frac{2(1+y)(my-nx)}{F(P)},\qquad y^*=\frac{2(1+y)(mx+ny)}{F(P)}. }

当 F(P)=0F(P)=0 时，不能使用这一有限坐标分式。

陪位重心​

来源：§11.9，PDF 第 279 页。

把重心

G=(2m3,−23)G=\left(\frac{2m}{3},-\frac23\right)

代入等角共轭公式，得到陪位重心 KK：

K=(−m(1+n)1+3n−2m2,−n−m21+3n−2m2).\boxed{ K=\left(-\frac{m(1+n)}{1+3n-2m^2}, -\frac{n-m^2}{1+3n-2m^2}\right). }

下一页保留原稿使用这个坐标解决 GOE P10 的印刷解析过程。